25. Правило «трех сигм».

Найдем вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет значение из интервала (а - 3σ, а + 3σ):

Следовательно, вероятность того, что значение случайной величины окажется вне этого интервала, равна 0,0027, то есть составляет 0,27% и может считаться пренебрежимо малой. Таким образом, на практике можно считать, что все возможные значения нормально распределенной случайной величины лежат в интервале (а - 3σ, а + 3σ).

Полученный результат позволяет сформулировать правило «трех сигм»: если случайная величина распределена нормально, то модуль ее отклонения от х = а не превосходит 3σ.

26. Показательное распределение.

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью

(26.1)

В отличие от нормального распределения, показательный закон определяется только одним параметром λ. В этом его преимущество, так как обычно параметры распределения заранее не известны и их приходится оценивать приближенно. Понятно, что оценить один параметр проще, чем несколько.

Найдем функцию распределения показательного закона:

Следовательно,

(26.2)

Теперь можно найти вероятность попадания показательно распределенной случайной величины в интервал (а, b):

. (26.3)

Нетрудно показать, что (26.4)

27. Мода, медиана, асимметрия, эксцесс

Модой М дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение, модой М непрерывной случайной величины – её значение, в котором плотность вероятности максимальна.

Пример 1. Если ряд распределения дискретной случайной величины Х имеет вид:

X	1	2	3	4
p	0,1	0,7	0,15	0,05

то М = 2.

П ример 2.Для непрерывной случайной величины, заданной плотностью распределения , модой является абсцисса точки максимума: М = 0.

Если кривая распределения имеет больше одного максимума, распределение называется полимодальным, если эта кривая не имеет максимума, но имеет минимум – антимодальным.

Медианой Ме непрерывной случайной величины называют такое ее значение, для которого

p( X < Me ) = p( X > Me ). (27.1)

Графически прямая х = Ме делит площадь фигуры, ограниченной кривой распределения, на две равные части.

Коэффициентом асимметрии случайной величины называется (27.2)

Эксцессом случайной величины называется величина (27.3)

Можно показать, что для нормального распределения , и, соответственно, для нормального распределения . Для кривых с более острой вершиной , в случае более плоской вершины .