22. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

Распространим определения числовых характеристик случайных величин на непрерывные случайные величины. При этом , будем рассматривать как вероятность того, что случайная величина примет значение лежащее в бесконечно малом интервале .

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно

(22.1)

Общее определение дисперсии сохраняется для непрерывной случайной величины таким же, как и для дискретной (17.2), а вычислена дисперсия может по формуле:

(22.2)

или (22.3)

Среднее квадратическое отклонение вычисляется по формуле (17.6): .

Замечание. Если все возможные значения непрерывной случайной величины не выходят за пределы интервала [a, b], то интегралы в формулах (22.1) - (22.3) вычисляются в пределах интервала [a, b].

Пример. Плотность распределения случайной величины Х имеет вид:

Найти М(Х), D(X), σ.

Решение.

22А. Задачи.

1. Для непрерывной случайной величины Х задана функция распределения F(x).Найти значение параметра С из условия непрерывности F(x), построить график F(x), посчитать вероятности попаданий в указанные интервалы, найти плотность распределения f(x) и построить ее график.

F(x)= P(X<2), P(X>3), P(-7<X<1), P(0.5<X<3)

2. Для непрерывной случайной величины Х задана функция распределения F(x).Найти значение параметра С из условия непрерывности F(x), построить график F(x), посчитать вероятности попаданий в указанные интервалы, найти плотность распределения f(x) и построить ее график.

F(x)= P(X<1.5), P(X>0.5), P(-3<X<1), P(0.5<X<3)

3. Для непрерывной случайной величины Х задана функция распределения F(x).Найти значение параметра С из условия непрерывности F(x), построить график F(x), посчитать вероятности попаданий в указанные интервалы, найти плотность распределения f(x) и построить ее график.

F(x)= P(X<2), P(X>3), P(-7<X<1), P(0.5<X<3)

4. Для непрерывной случайной величины X задана плотность распределения f(x). Найти значение параметра С. Построить график f(x). Найти числовые характеристики случайной величины (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение), функцию распределения F(x) и построить ее график. f(x)= .

5. Для непрерывной случайной величины X задана плотность распределения f(x). Найти значение параметра С. Построить график f(x). Найти числовые характеристики случайной величины (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение), функцию распределения F(x) и построить ее график. f (x)= ,

6. Для непрерывной случайной величины X задана плотность распределения f(x). Найти значение параметра С. Построить график f(x). Найти числовые характеристики случайной величины (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение), функцию распределения F(x) и построить ее график. f(x)=

7. Найти вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (1,10), если она равномерно распределена на интервале (6, 12)

8. Случайная величина X задана плотностью распределения f(x)=cos(x) на интервале (0, /2); вне этого инервала f(x)=0. Найти математическое ожидание функции Y= X²