ТВ и МС (опорный конспект)

Введение

Нередко возникают ситуации, когда результат некоторого действия (операции, опыта, испытания) заранее предугадать невозможно, однако можно установить закономерности, возникающие при проведении серии опытов.

Нельзя, например, точно сказать, какая сторона монеты окажется сверху при данном броске: герб или цифра – но при большом количестве бросков число выпадений герба приближается к половине количества бросков.

Нельзя заранее предсказать результат одного выстрела из данного орудия по данной цели, но при большом числе выстрелов частота попадания приближается к некоторому постоянному числу.

Нельзя точно предугадать дневной объём продаж завтрашнего дня, расходы на доставку конкретной единицы продукции, число клиентов в очереди, ……

Теория вероятностей изучает закономерности таких явлений при их многократном повторении, а математическая статистика разрабатывает методы, позволяющие по данным наблюдений построить модель исследуемого явления.

1. События

Опытом (или испытанием) называют выполнение условий, в которых проводится наблюдение данного явления.

Основным интуитивным понятием классической теории вероятностей является случайное событие. События, которые могут произойти в результате опыта, можно подразделить на три вида:

а) достоверное событие – событие, которое всегда происходит при проведении опыта ();

б) невозможное событие – событие, которое в результате опыта произойти не может ();

в) случайное событие – событие, которое может либо произойти, либо не произойти.

Для обозначения событий обычно используют начальные большие буквы латинского алфавита. Например,

A= {выпадение чётного числа при бросании игральной кости};

В= { при выстреле по мишени цель поражена};

С= { вес апельсина, выбранного из поступившей партии больше 200 гм};

Противоположным событием событию называют событие, обозначаемое и состоящее в том, то событие не произошло. Например, для введённых выше событий и :

= { при выстреле по мишени цель не поражена};

={ вес апельсина, выбранного из поступившей партии не больше 200 гм}.

Теории вероятностей - наука, изучающая закономерности массовых однородных случайных явлений.

2. Вероятность

При изучении случайных событий возникает необходимость количественно сравнивать возможность их появления в результате опыта.

Например, при последовательном извлечении из колоды пяти карт более возможна ситуация, когда появились карты разных мастей, чем появление пяти карт одной масти; при десяти бросках монеты более возможно чередование гербов и цифр, нежели выпадение подряд десяти гербов, и т.д. Поэтому с каждым таким событием связывают по определенному правилу некоторое число, которое тем больше, чем более возможно событие. Это число называется вероятностью события и является вторым основным понятием теории вероятностей.

Отметим, что само понятие вероятности, как и понятие случайного события, является аксиоматическим и поэтому не поддается строгому определению. То, что в дальнейшем будет называться различными определениями вероятности, представляет собой способы вычисления этой величины.

Вероятность события - число, характеризующее возможность появления события.

Обозначение: - вероятность события .

В качестве единицы измерения вероятности принимается вероятность достоверного события. Вероятность невозможного события считается равной нулю. То есть,

если достоверное событие, то ;

если невозможное событие, то .

Тогда для любого события -

3. Относительная частота. Статистическое определение вероятности.

Относительной частотой W(A) события A называют отношения числа опытов (M), в которых наблюдалось событие А, к общему количеству проведенных опытов (N):

(3.1)

При однотипных массовых испытаниях во многих случаях наблюдается устойчивость относительной частоты события, которая состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Это число называется вероятностью события А в статистическом смысле.

Для существования статистической вероятности события А требуется:

а) возможность (хотя ба принципиально) проводить неограниченное число испытаний, в

каждом из которых событие А наступает или не наступает;

в) устойчивость относительной частоты события А в различных сериях большого числа

испытаний.

Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности.

Пример. Если в задаче задается вероятность попадания в мишень для данного стрелка (скажем, р = 0,7), то эта величина получена в результате изучения статистики большого количества серий выстрелов, в которых этот стрелок попадал в мишень около семидесяти раз из каждой сотни выстрелов.