2.6. Вычисление площади с помощью криволинейного интеграла второго рода.
В
п.2.5.было установлено, что работа силового
поля при перемещении материальной точки
вдоль кривой Г
выражается криволинейным интегралом
второго рода по этой кривой. Применение
криволинейного интеграла второго рода
к решению физических задач будет изложено
в теории поля. Покажем, что криволинейный
интеграл может быть использован для
вычисления площади плоской фигуры.
Пусть D-некоторая
область (правильная) с границей L
и S
- площадь этой области. Рассмотрим
криволинейный интеграл
Применив к нему формулу Грина, где
получим
Аналогично получается другая формула
Можно получить иные формулы. Для этого достаточно выбрать функции X(y,x) и Y(y,x) такими, чтобы они удовлетворяли условию
Так,
если в интеграле
положить
то
и
Следовательно,
(1)
Формула (1) отличается от предыдущих двух симметричностью формы.
ПРИМЕР
1.
Вычислить площадь области, ограниченной
астроидой
(см. рис.18). Применяя формулу (1), получим
Рис.18. К примеру 1.
2.7. Формула Грина.
Если D - односвязная область, то AD (граница области D) - простая замкнутая кривая, обход по которой совершается против часовой стрелки. Если D – неодносвязна, то AD - совокупность замкнутых кривых, обход по которым совершается так, что D остается слева.
Первообразная дифференциального выражения
Если
в односвязной области D
для функций P
и Q
выполняется условие Эйлера
,
то дифференциальное выражение
является
полным дифференциалом, т. е. существует
функции u
= u(x, y)
(первообразная), такая, что
всюду
в области D.
Первообразная может быть вычислена по
одной из формул:
Криволинейный
интеграл второго рода от выражения,
являющегося полным дифференциалом, не
зависит от формы пути, соединяющего
точки
и может быть вычислен с помощью формулы
двойной подстановки:
http://www.math.rusoil.net/pages/66/UMK7.pdf