Основне рівняння гідростатики

Розглянемо абсолютний спокій рідини, тобто на рідину діє лише сила тяжіння.

Щоб одержати закон зміни тиску потрібно знайти силову функцію U і підставити в інтеграл Ейлера.

Методика визначення силової функції u

1. Запишемо диференціал функції U.

2. Визначимо проекції сили тяжіння на координатні вісі, для цього розглянемо рисунок.

x=0, y=0, z=-g

3. Знайдені проекції підставляємо в рівняння

4. Інтегруємо і отримуємо:

і остаточно

отриманий вираз є основним рівнянням гідростатики.

Яке показує, що тиск залежить від питомої ваги рідини і координати z, причому закон зміни тиску має лінійний характер.

В гідравліці міру енергії, що належить одиниці ваги рідини прийнято називати напором.

називається гідростатичний напір.

абсолютний потенційний напір

Основне рівняння гідростатики має розмірність довжини і тому може бути представлене у вигляді двох відрізків.

z – геометрична висота положення частинки рідини;

– приведена висота тиску, якщо Р=Р_абс;

– п’єзометрична висота тиску, якщо Р=Р_над.

Частіше всього розглядаємо саме п’єзометричну висоту, тому що , тому що атмосферний тиск діє з усіх сторін і тому врівноважується.

Таким чином сума геометричної висоти положення частинки і п’єзометричної висоти для будь-якої частинки рідини завжди стала величина. В цьому і полягає геометричний сенс ОРГ

Для того, щоб визначити фізичний сенс ОРГ помножимо його одиницю ваги рідини, одержимо розмірність енергії.

н·м=Дж

Таким чином з фізичної точки зору:

z – питома „віднесена до одиниці ваги частини рідини” потенційна енергія частинки;

– питома потенційна енергія тиску.

Таким чином сума питомої потенційної енергії положення частинки і енергія тиску завжди стала величина. Таким чином ОРГ є законом збереження енергії в гідростатиці.

Формула для визначення тиску в будь якій точці рідини іі формула запису орг

Розглянемо в рідині 2 точки з координатами z₀ і z. В точці з координатою z₀ тиск відомий і дорівнює р₀.

Дано ρ, z₀, z, р₀. Необхідно знайти р.

глибина занурення частинки рідини.

ІІ формула запису основного рівняння гідростатики.

Тиск в будь якій точці рідина складається з тиску на поверхні рідини і тиску обумовленим вагою стовпчика рідини, висотою h.

Для прикладу:

Тиск в точці рідини, що знаходиться в спокої може бути представлено висотою деякого стовпа рідини або виміряне в натурі за допомогою скляних трубок п’єзометрів (грецьке тиск та міра).

Розглянемо точки А₁ до якої підключено п’єзометр відкритого типу та А₂ до якого підключено п’єзометр закритого типу.

Розглядаючи точку А₁ приходимо до висновку, що із сторони рідини в ємності на точку А₁ буде діяти абсолютний тиск , а із сторони рідини в трубці на ту ж точку діє рівний тиск . Звідки в чисельнику маємо різницю абсолютного та атмосферного тиску тобто надлишковий тиск. Величина відповідає надлишковому тиску в точці, називається надлишковою п’єзометричною висотою, або просто п’єзометричною висотою.

Вважаючи в трубці біля точки А₂ повне розрідження р₀=0 тоді з середини трубки на точку А₂ буде діяти тиск , звідки . Величину називають абсолютною п’єзометричною висотою.

У випадку якщо абсолютний тиск в точці р<р_а, тиск в ній можна виміряти за допомогою зворотного п’єзометра (вакуумметра)

В даному випадку тиск в точці А зі сторони рідини в ємності , а із сторони рідини в вакуумметрі , звідки . Тобто різницю атмосферного та абсолютного тиску називають вакуумметричною висотою.

Задача

Визначити абсолютний та манометричний тиск на дно відкритої ємності, наповненої водою. Глибина води в ємності =4,0м.

р₀ – атмосферний тиск, що діє на вільну поверхню рідини дорівнює 98100Н/м², густина води 1000кг/м³.

н/м² або 137340/98100=1,4 кгс/см².

н/м².

Епюри гідростатичного тиску

При вирішенні багатьох практичних задач на міцність необхідно будувати епюри гідростатичного тиску, що являє собою графічне зображення розподілу гідростатичного тиску по довжині контуру тіла зануреного в рідину.

Епюра – графік зміни тиску побудований безпосередньо по профілю стінки, на яку цей тиск діє. Будуючи епюри обов’язково виконуємо такі умови:

1. Епюра будується в масштабі;

2. епюра повинна показувати напрямок дії тиску;

3. якщо стінка складна, то обов’язково враховують другу властивість гідростатичного тиску.

Розглянемо випадок побудови епюри абсолютного (повного) та надлишкового гідростатичного тиску, що діє на вертикальну плоску стінку АВ, на яку діє напір рідини з глибиною Н.

Для побудови епюри гідростатичного тиску за початок координат візьмемо току 0, до перетинається рівень рідини з вертикальною стінкою АВ. Першу точку візьмемо у поверхні рідини де Н=0 і р=р₀, а другу у дна де . Отримані точки з’єднаємо прямою лінією. В результаті отримаємо епюру гідростатичного тиску на плоску вертикальну стінку у вигляді трапеції abda^’. Користуючись даною епюрою, можна графічним методом знайти гідростатичний тиск, що відповідає любій глибині рідини. Аналогічно будуємо епюру надлишкового тиску.

Якщо плоска стінка АВ нахилена до горизонту під деяким кутом то епюри гідростатичного тиску, будуть направлені нормально до нахиленої стінки.

Для більш складних випадків коли на вертикальну стінку АВ, наприклад розділеною стінкою резервуару, діє тиск рідини з обох боків. При цьому з лівої сторони рідина має глибину Н₁, а з правої , а з правої Н₂. Таким чином на стінку будуть діяти паралельні сили гідростатичного тиску направленого в протилежні сторони.

Епюра гідростатичного тиску для цистерни заповненої нафтою.