
- •1 Основные понятия.
- •2.Линейное программирование.
- •2.1Введение в линейное программирование
- •2.2 Общая постановка задачи
- •Переход от стандартной или общей формы к канонической форме.
- •Переход от канонической к стандартной.
- •2.3Двойственность в задачах линейного программирования
- •Решение задач линейного программирования геометрическим методом
- •Симплексный метод решения задач линейного программирования
- •I этап. Запись задачи в симплекс-таблицу.
- •II этап. Проверка опорного плана на оптимальность.
- •III этап. Улучшение опорного плана.
- •IV этап. Выписывание оптимального решения.
Переход от стандартной или общей формы к канонической форме.
Задачу минимизации z(x) заменяют задачей максимизации функции z1= -z(x).
Неравенства системы ограничений преобразуют в равенства. Для этого в неравенствах вида
к их левым частям прибавляют дополнительные переменные хn+I ≥0, получают уравнение
; а в неравенствах вида
вычитают такие переменные, в результате получают уравнения
Если в исходной задаче какая-то переменная хi не удовлетворяет условию неотрицательности, то ее заменяют разностью двух новых неотрицательных переменных:
, где
Переход от канонической к стандартной.
Систему уравнений (ограничений) преобразовываем в эквивалентную ей систему неравенств, а целевую функцию записать через переменные полученной системы неравенств.
Приводим к единичному базису методом гауса. Приравняем все свободные переменные к 0, т.е. xm+1=xm+2=0 то получим первоначальное базисное решение.
Выражаем все базисные переменные через свободные.
Х1=b1-a1,m+1xm+1-..-a1,nxn>=0
Xm=bm-am,m+1-…-amnxn>=0
В функция цели вместо базисных переменных подставить их через переменные.
Пример. 1.
Записать в форме основной ЗЛП следующую задачу
Найти максимум
функции F=
при условиях
ответ
Пример 2.
Записать задачу,
состоящую в минимизации функции Z=
-
при условиях
Z=
ответ
Пример.3.
Записать в форме
стандартной задачи линейного
программирования следующую задачу:
найти максимум функции F=
при условиях
Решение. Ответ F=
x3+2x4
при условиях
2.3Двойственность в задачах линейного программирования
Каждая задача линейного программирования, называемая прямой или исходной, тесно связана с другой задачей, ее называют двойственной.
Математические модели этих задач имеют следующий вид.
прямая задача:
|
двойственная задача:
|
Несимметричные задачи |
Симметричные задачи |
||
Прямая задача |
Двойственная задача |
Прямая задача |
Двойственная задача |
|
|
|
|
Прямая задача |
Двойственная задача |
Прямая задача |
Двойственная задача |
|
|
|
|
Эти задачи экономически могут быть сформулированы следующим образом.
Прямая задача: сколько и какой продукции хi(i-1, 2, … , n) надо произвести, чтобы при заданных стоимостях единицы продукции Сi, объемом имеющихся ресурсов bj (j=1,2,…, m) и нормах расхода ресурсов аij максимизировать выпуск продукции в стоимостном виде.
Двойственная задача: какова должна быть оценка единицы каждого ресурса yj (j=1, 2,…, m), чтобы при заданных bj, ci и аij минимизировать общую оценку затрат на все ресурсы.
Правила построения двойственной задачи по имеемой прямой задаче:
Если прямая задача решается на максимум, то двойственная задача решается на минимум; если прямая задача решается на минимум то двойственная на максимум;
В задаче на максимум ограничения неравенства имеют вид – ≤, а в задаче на минимум – ;
Каждому ограничению прямой задачи соответствует переменная двойственной задачи, в другой модели ограничению двойственной задачи соответствует переменная прямой задачи;
Матрица системы ограничений двойственной задачей получается из матрицы из матрицы систем ограничений прямой задачи транспонированием;
Свободные члены системы ограничений прямой задачи являются коэффициентами при соответствующих переменных целевой функции двойственной задачи и наоборот;
Если на переменную прямой задачи наложено условие неотрицательности, то соответствующее ограничение двойственной задачи записывается как ограничение-неравенство, в противном случае – как ограничение равенство;
Если какое либо ограничение прямой задачи записано как равенство, то на соответствующую переменную двойственной задачи условие неотрицательности не налагается.
Пример:
Прямая задача:
|
Двойственная задача:
|
В этой задаче
– предельные оценки стоимости единицы
каждого ресурса, целевая функция –
оценка стоимости всех ресурсов, а каждое
ограничение есть условие, что оценка
ресурсов, идущих на производство
продукции
,
не менее чем цена единицы продукции.
Взаимосвязь решений прямой и двойственной задач находится из трех теорем двойственности.
.2. 4 Теоремы двойственности.
Первая теорема двойственности:
Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая задача имеет оптимальное решение, причем экстремальные значения целевых функций совпадают Z(X)=Z'(Y). Если одна из двойственных задач неразрешима вследствие неограниченности целевой функции на множестве допустимых решений, то система ограничений другой задачи противоречива.
Экономическое содержание первой теоремы двойственности: если задача определения оптимального плана, максимизирующего выпуск продукции, разрешима, то разрешима и задача определения и оценок ресурсов, при этом полная стоимость продукта, полученного в результате реализации оптимального плана, совпадает с суммарной оценкой ресурсов. Совпадения, значений целевых функций для соответствующих решений пары двойственных задач достаточно для того, чтобы эти решения были оптимальными. Это значит, что план производства и вектор оценок ресурсов являются оптимальными только тогда, когда полная стоимость произведенной продукции и суммарная оценка ресурсов совпадает.
Оценки выступают как инструмент сбалансирования затрат и результатов. Двойственные оценки обладают тем свойством, что они гарантируют рентабельность оптимального плана, т.е. равенство общей стоимости продукции и ресурсов обуславливает убыточность всякого другого плана отличающегося от оптимального. Двойственные оценки позволяют сопоставлять и сбалансировать затраты и результаты производства.
Вторая теорема двойственности:
Для того чтобы план Х* и Y* пары двойственных задач были оптимальными, необходимо и достаточно выполнение условий:
Эти условия называются условиями дополняющей нежесткости. Из них следует, что если какое-либо неравенство системы ограничений в одной из задач не обращается в строгое равенство оптимальным планом этой задачи, то соответствующий элемент оптимального плана двойственной задачи должен равняться нулю. Если какой-либо элемент оптимального плана одной из задач положителен, то соответствующее ограничение в двойственной задаче её оптимальным планом должно обращаться в строгое равенство, т.е.
если
bj,
то
;
если
0, то
.
Аналогично,
если
если
0
то
Экономически это
означает, что если по некоторому
оптимальному плану X*=
производства расход j-го
ресурса меньше его запаса bj,
то в оптимальном плане соответствующая
двойственная оценка единицы этого
ресурса равна нулю. Если же в некотором
оптимальном плане оценок его j-й
элемент больше нуля, то в оптимальном
плане производства расход соответствующего
ресурса равен его запасу. Отсюда следует
вывод: двойственные оценки могут служить
мерой дефицитности ресурсов. Дефицитный
ресурс, т.е. полностью используемый по
оптимальному плану производства, имеет
положительную оценку, а избыточный
ресурс, т.е. не используемый полностью
имеет нулевую оценку.