9.4. Развитие механики в XVIII веке

В XVIII веке механика развивалась еще будучи практически оторванной от практики наука. Выдающимися математиками и механиками конца XVII – начала XVIII веков были члены семейства Бернулли. Ее представитель – Даниил Бернулли (1700 – 1782) стал основоположником гидродинамики и кинетической теории газов. Он выдвинул гипотезу сохранения кинетической энергии и вывел уравнение стационарного течения идеальной жидкости (уравнение Бернулли), а также обосновал закон Бойля – Мариотта.

Самым плодотворным ученым XVIII века был академик Петербургской и Берлинской АН Леонард Эйлер (1707 – 1783). Его научные интересы относились ко всем основным областям естествознания. Эйлер заложил основы интегрирования дифференциальных уравнений и вариационного исчисления, математической физики и механики твердого тела. В частности, он разобрал случай движения твердого тела, шарнирно закрепленного в центре масс, по инерции, заложив теоретические основы теории гироскопов. Ученый также выполнил основополагающие работы по механике машин, занимался вопросами баллистики и предложил новую теорию полета снарядов.

А первым общие правила составления дифференциальных уравнений любых механических систем дал в «Трактате по динамике» Жан Лерон д'Аламбер (1717 – 1783). Вводя силы инерции, он сводит задачу динамики к задаче статики. Ученый установил три основных принципа динамики: принцип инерции, принцип параллелограмма сил и принцип д'Аламбера (уравновешивание системы сил с учетом сил инерции).

Важнейший шаг в развитии механики удалось совершить Жозефу Луи Лагранжу (1736 – 1813), создавшему новую науку – аналитическую механику. В книге «Аналитическая механика», изданной в Париже в 1788 г., Лагранж подвел итог всему, что было сделано в механике в XVIII веке, и сформулировал новый подход к решению ее проблем. В учении о равновесии он отказался от геометрических методов статики и предложил принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа). В динамике Лагранж, применив одновременно принцип д'Аламбера и принцип возможных перемещений, получил общее вариационное уравнение динамики, которое также носит название принципа д'Аламбера – Лагранжа. Наконец, он ввел в обиход понятие обобщенных координат и получил уравнения движения в наиболее удобной форме – уравнения Лагранжа II рода.

Усилиями выдающихся ученых XVIII века была подготовлена теоретическая основа для создания прикладной механики. Рост крупной промышленности в конце XVIII – начале XIX века, вызванный повсеместным внедрением паровой машины обусловил выделение прикладной механики в отдельную дисциплину. У ее истоков стояли французские ученые А. Навье, Г. Кориолис и Ж. В. Понселе. Ими были систематизированы многочисленные исследования прикладного характера, выполненные в XVII – XVIII веках и произведен ряд работ по важнейшим вопросам техники.

9.5. История развития сопротивления материалов и теории упругости

Одной из важнейших частей механики является наука о прочности. Опыт, накопленный греками и римлянами, был частично утрачен в средние века, но в эпоху возрождения искусство строительства было поднято на прежнюю высоту. Наиболее выдающимся ученым и инженером этой эпохи был Леонардо да Винчи. Его интересовала механика, в которой он видел «рай для математической науки». Леонардо пользуется правилом моментов. Он применяет золотое правило механики (впоследствии оно выросло в принцип виртуальных перемещений) для расчетов различных систем блоков и рычагов.

Начало изучению сопротивления материалов положил Галилей. Он впервые обосновал необходимость применения аналитических методов расчета взамен эмпирических правил. Галилей рассмотрел задачу об изгибе консольной балки и ввел понятие напряжений. При этом великий ученый делает одну ошибку, полагая, что нейтральная линия находится на внутренней поверхности деформированной балки. Он также разрабатывал методику проведения опытов по абсолютному сопротивлению разрыву.

Другой важнейшей вехой в исследованиях деформаций было установление в 1660 г. Р. Гуком их пропорциональности при растяжении – сжатии действующей силе. В 1680 г. французский физик и механик, основатель Французской АН Эдм Мариотт независимо от Гука открыл этот закон и распространил его на случай изгиба. Мариотт исправил ошибку Галилея, приняв другой закон распределения напряжений при изгибе, и поместил нулевую точку в середине высоты сечения, признав тем самым наличие сжатых волокон. Однако из-за допущенной ошибки он посчитал, что на момент сопротивления балки это влияния не оказывает. В 1702 г. Пьер Вариньон получил формулы Галилея и Мариотта как частные случаи своей теории, поместив при этом нейтральную линию также на вогнутой стороне балки. Яков Бернулли в 1705 г., хотя и признал наличие сжатых волокон на вогнутой стороне, повторил ошибку Мариотта, с работами которого, похоже, не был знаком. На основании своего ошибочного расчета он даже вывел неверную теорему о том, что положение нейтральной линии не оказывает никакого влияния на сопротивление изгибу и благодаря своему колоссальному авторитету, тем самым задержал на целое столетие развитие учения об изгибе.

Первое правильное решение задачи о прочности балки при изгибе дал французский военный инженер Антуан Паран в 1713 г., однако его работа осталась незамеченной современниками. Это решение в 1729 г. подтвердил петербургский академик Георг Бернгард Бильфингер, но и его работа на эту тему, первая работа в России по строительной механике, также прошла незамеченной. Только в 1773 г., через 60 лет после Парана, Ш. Кулон, незнакомый с его работами, повторил решение задачи об изгибе балки, но еще долго заблуждения продолжали повторяться. Наконец, окончательно правильное решение в 1824 г. получил Навье, который и опубликовал его в 1826 г. Таким образом, решение данной задачи заняло 188 лет, если считать от первой работы Галилея, что убедительно демонстрирует, как сложно развивалась наука в XVII – XVIII веках.

Если Галилей и Мариотт исследовали прочность балки, то в 1703 г. швейцарский математик Я. Бернулли поставил задачу о вычислении прогибов. Он применил к исследованию упругой линии изогнутой полосы (он называл брус полосой) исчисление бесконечно малых.

Уравнения теории упругости содержат производные от смещений, т.е. определяют деформации тел. Условия совместности деформаций получены Барре де Сен-Венаном в 1860 г. Он также предложил полуобратный метод решения задач теории упругости и ввел принцип, в соответствии с которым уравновешенная система сил, приложенная к некоторой части сплошного тела, вызывает в нем напряжения, быстро убывающие по мере удаления от этой части (принцип Сен-Венана).

Условия совместности для напряжений получены итальянским математиком Эудженио Бельтрами в 1892 г. и в более общей форме австралийским математиком и механиком Джоном Генри Мичеллом в 1899 г.

Важный вопрос о единственности решения задачи теории упругости исследован Г. Р. Кирхгофом в 1858 г., а вопрос о его существовании позже, в XX веке. Первыми применили общие уравнения равновесия упругих тел к реальным задачам Г. Ламе и Э. Клапейрон в 1827 – 1828 гг. В мемуаре «О внутреннем равновесии однородных твердых тел» они рассмотрели задачи о растяжении бесконечной призмы, кручении бесконечного кругового цилиндра, равновесии шара под действием взаимного притяжения его частиц, равновесии полого кругового цилиндра и шара под действием внутреннего и внешнего давления. В 1828 г. Коши и Пуассон применили общие уравнения для оценки пригодности элементарной теории изгиба тонких стержней, а в 1829 г. Коши вывел приближенные формулы для кручения тонких прямоугольных стержней. Эти исследования дали толчок для развития Сен-Венаном общей теории изгиба и кручения призматических стержней – крупнейшего практического достижения теории упругости середины XIX в. Его работами открывается эпоха инженерных приложений теории упругости.

В начале XIX в. самой передовой в Европе была французская математическая школа. Именно ее представители А. Навье, О. Коши, Д. Пуассон, Г. Ламе и Э. Клапейрон в 20–30-е гг. заложили основы теории упругости. В 1821 г. Навье представил Парижской академии наук «Мемуар о законах равновесия и движения упругих твердых тел», в котором были получены уравнения равновесия упругого тела. Введя инерционные члены, Навье получил также и уравнения колебаний твердого тела. Именно от этого мемуара ведет свою историю механика твердого деформируемого тела. В следующем, 1822 г. французский математик Огюстен Луи Коши в работе «Исследование равновесия и внутреннего движения твердых тел и жидкостей, упругих и неупругих» развил общий континуальный подход в механике сплошной среды. Он, с помощью предложенного Л. Эйлером метода выделения элементарного объема и рассмотрения действующих на него сил, получил общие уравнения равновесия сплошной среды в напряжениях и установил свойства взаимности напряжений. В результате им получены классические уравнения динамики изотропного упругого тела.

Основоположником отечественной школы теории упругости является Александр Николаевич Динник (1876 – 1950), который работал в Екатеринославе (Днепропетровск) и Киеве. Его работы относятся к различным вопросам теории упругости: устойчивость элементов сооружений, в частности стержней и арок постоянного и переменного сечения; устойчивость плит, пластин, мембран; применение теории упругости к вопросам горного давления; прочность шахтных канатов и др. Он также первым в России занимался задачами колебаний континуальных систем. Динник систематически проводил консультации с работниками производства и был выдающимся педагогом.