Задания 7:
I. Вычисление элементов прямоугольного треугольника
При выполнении заданий 7 на вычисление элементов прямоугольного треугольника достаточно знать определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, основное тригонометрическое тождество и теорему Пифагора.
1
)
В
Теорема Пифагора:
АВ² = АС² + ВС².
Пифагоровы треугольники: 3,4,5; 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25.
Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса
острого угла:
sinA=
;
cosA=
;
tgA=
;
ctgA=
А С Основное тригонометрическое тождество: sin²A+ cos²A=1
Формулы приведения: sin(90˚-
α) = cosα ; cos(90˚-α)
= sinα
sin(180˚- α) = sinα; cos(180˚-α) = -cosα
α
функции |
0˚(0) |
30˚( |
45˚( |
60˚( |
90˚( |
180˚ (π) |
sin α |
0 |
|
|
|
1 |
0 |
cos α |
1 |
|
|
|
0 |
-1 |
tg α |
0 |
|
1 |
|
не сущ. |
0 |
ctg α |
не сущ. |
|
1 |
|
0 |
не сущ |
)
)
)
)
2
)
В Высота
прямоугольного треугольника, проведенная
из
Н вершины прямого угла, разделяет треугольник на два
подобных прямоугольных треугольника, каждый из
которых подобен данному треугольнику.
А
С СН=
;
АС=
3) В
∆АВС - равнобедренный,
∆АВН=∆ВСН
А С ВН - медиана, биссектриса, высота.
Н
Решать задания 7 можно по-разному. Показано несколько образцов решения задач.
Пример 1.
З Найдите АС. Решение: По
определению tg А =
;
АС =
ВС :
= 6 :
=
6
8
|
адание
7. В треугольнике АВС угол С равен
90º, tgα =
,
ВС = 6. В
;
=
8.
А
С
Пример 2.
Задание 7. В треугольнике АВС угол С равен 90º, угол В равен 30º, ВС = 3 . Найдите АС. В
А Решение: По
определению tg В =
В бланк ответов:
3
|
С
;
АС = ВС · tg 30º = 3
·
=
=
·
=
3.
З cosA
= Решение:
По определению cosA =
sinB =
В бланк ответов:
0
,
8
|
адание
7. В треугольнике АВС угол С равен
90º,
. Найдите sinB.
В
;
= cosA
=
= 0,8. А СПример 3.
Задание 7. В треугольнике АВС угол
С равен 90º, АВ = 39, sinА =
В А С Решение: 1) Используя основное тригонометрическое тождество sin²A + cos²A = 1, получим: (
)²
+ cos²A = 1;
cos²A
=
2) По
определению cosA =
;
АС = АВ · cosA; АС = 39 ·
=
В бланк ответов:
3
6
|
.
Найдите АС.
+
cos²A = 1; cos²A = 1 -
;
cos²A =
;
;
cosA =
.
= 36.Пример 4.
Пример 5.
Задание 7. В треугольнике АВС угол
С равен 90º, АВ = 95, cosВ =
В А С Решение: 1) Используя основное тригонометрическое тождество sin²В + cos²В = 1, получим: sin²В+
(
)²=
1; sin ²В+
sin ²В = ( )²; sin В = . 2) По
определению sin В =
;
АС = АВ · sin В; АС = 95 ·
=
В бланк ответов:
7
6
|
.
Найдите АС.
=
1; sin ²В = 1 -
;
sin ²В =
;
= 19 · 4 = 76.Пример 6.
Задание 7. В треугольнике АВС угол С равен 90º, AB = 14, AС = 7 . Найдите sinА. В А С Решение: 1) По теореме Пифагора АВ² = АС² + ВС²; 14² = (7 )² + ВС²; 196 = 49 · 3 + ВС²; 196 = 147 + ВС²; ВС² = 196 - 147; ВС² = 49; ВС² = 7²; ВС = 7. 2) По
определению sinА =
В бланк ответов:
0
,
5
|
=
=
= 0,5.
Пример 7.
Задание 7. В треугольнике АВС угол С равен 90º, угол А равен 30º. Найдите синус угла ВАD. В
D А С Решение:
sin BAD = sin(180º - 30º) = sin30º = = 0,5.
0
,
5
В бланк ответов: |
BAD и
BAС
– смежные, отсюда
П
ример
8.
Задание 7. На клетчатой бумаге изображен угол. Найдите его тангенс.
Решение: В D BAD и BAС – смежные, отсюда
А tg BAD
= tg(180º -
BAС
) = - tg BAC = -
С
-
2
В бланк ответов:
|
= -2.
Пример 9.
З В
О А
Р
В tg
BОA =
О А В бланк ответов:
0
,
8
|
адание
7. Найдите тангенс угла АОВ,
изображенного на клетчатой бумаге.
ешение:
= 0,8.