Корреляционные функции.

Под корреляцией понимают вероятностную зависимость между величинами, которая возникает тогда, когда одна из величин зависит не только от другой, но и от ряда случайных факторов, или когда среди условий, от которых зависят и та, и другая величины, имеются общие для них обоих условия.

Зависимости такого рода можно описать или при помощи корреляционных таблиц, или с помощью корреляционных функций. Под автокорреляционной функцией K(t₁,t₂) понимают взаимосвязь (т.е. корреляцию) значений и случайного процесса в моменты t₁ и t₂, определяемую равенством :

(48)

где - математическое ожидание процесса в моменты t_i ;

- одномерная и двумерная плотности распределения X(t).

Если K(t₁,t₂), сечения Х₁ и Х₂ не коррелированы. Для стационарных случайных процессов m₁=m₂=m, а корреляционная функция зависит только от =t₁-t₂, т.е.

(49)

Часто используют нормированную корреляционную функцию ()=K()/K(0), где K(0)=D - дисперсия процесса, характеризующая рассеяние (разброс) корреляционной функции. Функция () обладает следующими свойствами : ()=(-); (0)=1; (0)|()|, если m=0 и .

Интегральной характеристикой времени корреляции сечений процесса служит интервал корреляции

(50)

Если сечения отстоят друг от друга на расстояние, большее , при расчетах их считают некоррелированными. Операцию определения корреляционных функций с помощью интегралов (48) и (49) называют усреднением по множеству (по ансамблю). Обозначим ее через M[]. Например,(49) удобно сокращенно записывать так : K()=M[(X₁-m)(X₂-m)].

1.       Интервал корреляции.

С П, как правило, обладают следующим свойством: их функция корреляции стремится к нулю с увеличением временного сдвига . Чем быстрее убывает функция R( ), тем меньшей оказывается статистическая связь между мгновенными значениями случайного сигнала в два несовпадающих момента времени.

Интервал корреляции – числовая характеристика, служащая для оценки «скорости изменения» реализаций случайного процесса. Определяется выражением:

Если известна информация о поведении какой-либо реализации «в прошлом», то возможен вероятностный прогноз случайного процесса на время порядка . Однако попытка прогнозирования на время, существенно превышающее интервал корреляции, окажется безрезультатной – мгновенные значения, сколь далеко отстоящие во времени, практически некоррелированы, т. е. среднее значение произведения x(t)x(t+ ) стремится к нулю

Теоре́ма Коте́льникова (в англоязычной литературе — теорема Найквиста — Шеннона или теорема отсчётов) гласит, что, если аналоговый сигнал имеет финитный (ограниченный по ширине) спектр, то он может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой, строго большей удвоенной верхней частоты :

Пояснение

Такая трактовка рассматривает идеальный случай, когда сигнал начался бесконечно давно и никогда не закончится, а также не имеет во временно́й характеристике точек разрыва. Именно это подразумевает понятие «спектр, ограниченный частотой ».

Разумеется, реальные сигналы (например, звук на цифровом носителе) не обладают такими свойствами, так как они конечны по времени и обычно имеют разрывы во временно́й характеристике. Соответственно, их спектр бесконечен. В таком случае полное восстановление сигнала невозможно и из теоремы Котельникова вытекают два следствия:

• Любой аналоговый сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой , где  — максимальная частота, которой ограничен спектр реального сигнала.

• Если максимальная частота в сигнале превышает половину частоты дискретизации, то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не существует.

Говоря шире, теорема Котельникова утверждает, что непрерывный сигнал можно представить в виде интерполяционного ряда

где  — функция sinc. Интервал дискретизации удовлетворяет ограничениям Мгновенные значения данного ряда есть дискретные отсчёты сигнала .