Составление и изображение взвешенного вариационного ряда

(табличный и графический способы изображения вариационного ряда)

Взвешенный вариационный ряд составляется в следующей последовательности:

1) упорядочивают значения признака по возрастанию;

2) из имеющихся значений признака выбирают максимальное и минимальное и опреде­ляют размах варьирования признака W_u = U_max- U_min;

3) определяют число классов (интервалов) группирования по эмпирической формуле к =l+4*lgN (где N - объем выборки); значение к лучше округлить до десятых долей, хотя число классов будет целым;

4) определяют ширину интервалов группирования: ;

5) выбирают границы классов и определяют середины интервалов группирования. Нижнюю границу первого класса удобнее принять равной U_min. Верхние границы классов определяют путем прибавления к нижним границам классов;

6) подсчитывают количество значений признака (т.е. количество наблюдений) в каждом классе, которое называется частотой класса;

7) составляют таблицу следующего вида, которая и представляет собой табличный способ изображения взвешенного интервального вариационного ряда распределения.

Взвешенный интервальный вариационный ряд распределения

мощностей рудного тела

Границы классов Uj		0-1 м		1-2 м		2-3 м	3-4 м		4-5 м		Сумма
Середины классов Ûj		0,5		1,5		2,5	3,5		4,5
Частоты nj		3		12		24	9		2		50
Накопленные частоты nsj	3		15		39		48	50
Частости wj	0,06		0,24		0,48		0,18	0,04		1
Накопленные частости wsj	0,06		0,30		0,78		0,96	1,00
Произведения nj* Ûj	1,5		18		60		31.5	9		120

Таким образом, взвешенным интервальным рядом распределения называется упорядоченная по возрастанию совокупность интервалов или середин интервалов непрерывного количественного признака и соответствующих им частот. Такой интервальный ряд называется основным. Кроме него применяют преобразованные ряды, в которых вместо частот используются частости, а также накопленные частоты и накопленные частости.

Частотой n_j данного класса группирования называется количество наблюдений в этом классе. Сумма частот всех классов вариационного ряда равна объему выборки, т.е. , где k - количество классов, N - объем выборки.

Частостью w_j данного класса группирования называется отношение частоты этого класса к объему выборки, т.е. .

Сумма частостей всех классов вариационного ряда равна 1, т.е.

Накопленной частотой n_sj данного класса называется сумма частот с первого по данный класс, а накопленной частостью w_sj - отношение накопленной частоты этого класса к объему выборки, т.е. доля накопленной частоты в объеме выборки.

Определяются по формулам: ; .

Накопленная частота последнего класса вариационного ряда равна объему выборки, а накопленная частость последнего класса равна 1.

Вариационные ряды могут изображаться не только в табличной, но и в графической форме. Различают следующие графики вариационных рядов: гистограммы, инте­гральные гистограммы, полигоны распределения, вариационные и кумулятивные кривые.

Гистограммой (или столбчатой диаграммой) называется график изменения частот признака по интервалам его группирования. Аналогичный график изменения накопленных частот признака по интервалам его группирования называется интегральной гистограммой.

При построении гистограммы по оси абсцисс графика откладываются интервалы группирования, а по оси ординат - частоты, если все классы имеют одинаковую ширину. При этом высота столбика будет пропорциональна частоте данного класса. Однако нужно помнить, что вид гистограммы очень сильно зависит от положения границ интервалов группирования.

Следует отметить, что интервалы группирования далеко не всегда имеют одинаковую ширину. Например, в десятичной классификации структур обломочных пород, в которой модуль рассева равен 10, верхняя и нижняя границы каждого класса отличаются в 10 раз, поэтому ширина каждого последующего класса отличается от предыдущего на порядок. Так, например, класс самых мелких обломочных частиц (алевритов) имеет границы 0,01-0,1 мм, следующий класс песков - 0,1-1 мм, гравия - 1-10 мм, гальки -10-100 мм, валунов - 100-1000 мм и отломов (глыб) - более 1000 мм. При этом ширина класса алевритовых частиц составляет 0,1 мм, песков - 1 мм, гравия - 10 мм, гальки -100 мм и валунов - 1000 мм, т.е. ширина классов различается в 10 раз.

В таких случаях, когда классы отличаются шириной интервалов группирования, при построении гистограммы либо используется другая шкала измерений по оси абсцисс (например, логарифмическая шкала в случае десятичной классификации структур обломочных пород), либо по оси ординат гистограммы откладываются не частоты, а частоты, нормированные на ширину интервала группирования U (т.е. величины n_j/U). При этом частоте данного класса будет пропорциональна не высота столбика, а его площадь.

Полигоном распределения называется график, по оси абсцисс которого откладываются середины интервалов группирования Û_j; , а по оси ординат – соответствующие им частоты n_j. Аналогичный график для частостей называется вариационной кривой, а для накопленных частостей - кумулятивной кривой (кумулятой).

Графическое изображение рядов является очень наглядным, но не полным. Наиболее полным является аналитический способ исследования, при котором определяют числовые характеристики вариационного ряда.