Лекція № 6

З дисципліни «Математична статистика» для студентів ІІ вищої

Тема: Лінійна кореляція

ПЛАН:

1. Поняття функціональної, статистичної та кореляційної залежності.

2. Умовні середні. Кореляційна залежність.

3. Дві основні задачі кореляційного аналізу.

4. Методика кореляційного аналізу.

5. Вибірковий коефіцієнт лінійної кореляції та його властивості.

6. Довірча оцінка коефіцієнта кореляції.

1. Поняття функціональної, статистичної та кореляційної залежності

В природі існує два типи залежності явищ (випадкових величин): функціональний і кореляційний.

Позначимо через Х незалежну змінну, а через Y - залежну змінну.

Залежність величини Y від Х називається функціональною, якщо кожному значенню величини Х відповідає єдине значення величини Y. З функціональною залежністю ми зустрічаємось, наприклад, в математиці, фізиці, хімії. Такі залежності демонструються абстрактними математичними формулами. Наприклад, залежність площі квадрата (S) від довжини сторони квадрата (а) виражається формулою: S=а². Кожному конкретному значенню довжини сторони квадрата однозначно відповідає певне значення площі цього квадрата. Інший приклад: середня швидкість об’єкта (v) на певному відрізку шляху (S) функціонально пов’язана з часом (t), що виражається формулою: v = S:t.

Строга функціональна залежність реалізується рідко, оскільки обидві величини або одна з них підпадають під дію випадкових факторів. При цьому можуть мати місце фактори, що впливають і на Х і на Y. В таких випадках виникає статистична залежність.

Статистичною називають залежність, при якій зміна однієї з величин викликає зміну розподілу іншої. Саме така залежність найбільш часто має місце в оточуючому світі. Її ще називають стохастичною, або імовірнісною, і вона характерна тим, що кожному фіксованому значенню незалежної змінної Х відповідає не одне, а множина значень змінної Y, причому знати наперед, якого саме значення набуде Y, не можна.

В галузі фізичного виховання і спорту існує безліч прикладів прояву статистичної залежності між різними процесами, явищами, величинами. Під час наукових досліджень часто буває необхідно встановити їхній взаємний вплив.

Загальновідомо, що між довжиною тіла і масою людей існує зв’язок, але неточний, оскільки одному й тому самому зросту у різних людей відповідає неоднакова маса. Певний зв’язок існує між температурою тіла і частотою серцевих скорочень. Між результатом спортсмена і кількістю тренувальних занять також існує зв’язок; між антропоморфологічними ознаками спортсмена і його результатами в спорті; між типом нервової системи спортсмена і обраним видом спорту і т. д.

Часто дослідників цікавить зв’язок між руховими досягненнями в різних видах спортивних вправ. Особливо важливим це буває при підборі тестів, за результатами яких судять про можливі досягнення в тому чи іншому виді спорту. Як правило, при цьому намагаються встановити наявність достовірного взаємозв’язку між результатами тесту і результатами в тій вправі, яка об’єктивно відображає можливості людини в конкретному виді спорту.

В усіх наведених випадках зв’язок є, проте виразити його точною формулою не можна. Це є приклади кореляційної залежності, і оскільки в природі вона існує, то є потреба цю залежність певним чином оцінювати якісно і кількісно.

Що ж таке кореляційний зв’язок, або кореляція?

Якщо статистична залежність, зокрема, проявляється в тому, що зі зміною однієї з величин змінюється середнє значення іншої, то таку статистичну залежність називають кореляційною.

Термін кореляції (лат. correlatio – співвідношення, зв’язок) вперше застосував Ж. Кюв’є (1806 р.), а самий метод кореляції увійшов до науки з практичних задач морфології та генетики в першій половині ХІХ ст. Перші спроби застосування цього методу в економіці були зроблені в кінці ХІХ і на початку ХХ ст. Адаптація цього методу до наукових досліджень в галузі фізичного виховання і спорту почалась в середині минулого століття і триває.

Наведемо класичний приклад випадкової величини Y, яка пов'язана з величиною X кореляційно. Нехай Y - врожай зернових, X - кількість добрив. З однакових площ полів за умови рівної кількості внесених добрив знімають різний врожай, тобто Y не є функцією від X. Це пояснюється впливом випадкових явищ (опади, температура повітря та ін.). Разом із тим, досвід показує, що середній врожай є функцією від кількості добрив, тобто Y пов'язаний з X кореляційною залежністю.

Отже, вид взаємозв'язку, при якому значенню однієї величини відповідає деяка групова середня іншої величини (її ще називають умовною середньою) називається кореляційною залежністю, або просто кореляцією.