2.4 Построение области устойчивости в плоскости параметров т1иkn.

Исследование проводится методом D- разбиений, и область устойчивости строится в плоскости двух задаваемых параметров системыT_имиk_д. Для выполнения исследования необходимо найти характеристический комплекс системы. Для этой цели характеристический полином системы (2.7) системы преобразуется таким образом, что вместо числовых значений исследуемых параметров в него бы вошли их буквенные обозначения.

Исследуем влияния коэффициента усиления К_nи постоянной времени двигателя Т_мна устойчивость системы. Для построения области устойчивости необходимо определить границу области устойчивости. Запишем характеристический полином замкнутой системы:

G(p)=T₁²p³+Т₂p²+p+k_nk_o , (8.0)

где T₁²=Т_мТ_е;T₂=T_м,

Подставив числовые значения в (7.1) и преобразовав, получим:

G(p)=2T₁p³+(2+T₁)p²+p+20k_n , (8.1)

Для выполнения исследования системы преобразуем характеристический полином в характеристический комплекс, путём замены pнаjω:

G(jω)=-2T₁jω³-(2+T₁)ω²+jω+20k_n , (8.2)

В этом выражении выделим отдельно реальную и вещественную части и приравняем их к нулю:

(8.3)

Решая систему уравнений (7.4) относительно T₁иk_n, получим:

(8.4)

Таким образом, мы получили параметрические уравнения колебательной границы устойчивости. Исследуем ход кривой, выявим особые точки и прямые. Характерными точками кривой являются точки разрыва и точки пересечения с осями координат. Приравняем к нулю знаменатель и числитель выражения, стоящего в правой части параметрического уравнения границы области устойчивости.

Приравняем к нулю первое уравнение системы:

При решении этого уравнения не получаем действительных корней, следовательно кривая не пересекает ось Т₁.

Приравняем к нулю второе уравнение системы:

При решении этого уравнения также не получаем действительных корней, следовательно кривая не пересекает ось k_n.

Существуют также дополнительные границы области устойчивости, которые следуют из дополнительных условий:

1. G₀(Т₁,k_n)=0, (первый коэффициент). Решая относительно Т_1,получим:

Т₁=0;

2. G₃(Т₁ ,k_n)=0, (последний коэффициент). Решая относительноk_n,получим:

k_n=0.

Зададим ряд значений в приделахи построим график зависимостиT₁(ω) иk_n(ω).

ω	Т1	Kn
0	∞	0,17
1	103.3	0.00015
4	0,0024	6.26
6	0,0054	2.76
8	0,0096	1.56
10	0,015	1
2	0,0216	0.7
14	0,0294	0.5
16	0,0384	0.4
18	0,0486	0.3
20	0,06	0.25
22	0,0726	0.2
24	0,0864	0.17
26	0,1014	0.14
28	0,1176	0.12
30	0,135	0.1
±∞	0	∞

Таблица 7. Расчет точек для построения ЛФХ.

Так как частота входит в параметрические выражения границы области устойчивости в четной степени, то достаточно рассмотреть только область положительных частот, поскольку при отрицательных значениях частоты, будут получаться те же точки, что и при соответствующих положительных значениях частоты. При ω→0, Т₁→∞.

Строим границу области устойчивости, график которой показан на рис. 7.

Определим положение области устойчивости относительно границы согласно правилу штриховки, [5]. Для этого необходимо вычислить определитель:

По правилу штриховки, следует, что если >0, граница штрихуется слева при движении по ней в направлении отк, а если<0, то справа в тех же условиях. При соблюдении этого правила штриховка будет направлена внутрь области устойчивости.

В нашем случае Δ=40ω³, следовательно,может принимать как положительные, так и отрицательные значения. То есть при отрицательных значениях>0 ,а при положительных<0.

Так как входит в параметрические уравнения в четной степени, штриховка дополнительных границ устойчивости производится по смыслу.

Рис.7области устойчивости в плоскости параметров Т₁иk_n

Необходимо произвести проверку построения области устойчивости. Для этого на получившемся графике (см. рис. 8) отметим контрольную точку М_контр, с координатамиk_n(0.05) и Т₁(3). Подставим значение точки М_контрв выражение (7.2) и рассчитаем его:G(p)= -6p³-5p²+p+1, посчитаем его по критерию Гурвица: Δ₂=-5*1+6*1=1>0,по критерию Гурвица система с выбранной точкой М_контроказалась устойчивой, точка попадает в построенную область устойчивости, следовательно, можно в первом приближении полагать, что область устойчивости построена верно.

Мы провели анализ устойчивости системы по двум критериям: алгебраическому критерию Гурвица и по частотному критерию Михайлова. Результат проверки – система устойчива.