2.2 Приведение системы к устойчивости

При заданных исходных параметрах элементов исходная система оказалась неустойчивой. Такую систему необходимо привести к устойчивости, т.е. таким образом изменить ее структуру или параметры, что бы система стала устойчивой. Для этого мы добавим в систему И-регулятор.

И-регулятор

Интегральный регулятор, реализующий интегральный закон регулирования, для которого скорость изменения управляющего воздействия пропорциональна ошибке системы.

Теперь построим графики логарифмической амплитудно-частотной характеристики и логарифмической фазовой характеристики системы с учетом влияния ненастроенного И-регулятора:

W(p) = (6.0)

Выражение для вычисления фазового угла для построения логарифмической фазовой характеристики будет иметь вид:

φ₂(ω)= -90 -arctg(6ω) –arctg(46,2ω). (6.1)

Из приведенного выражения видим, что график ЛФХ будет иметь вид такой же, как и для φ₁(ω), но будет поднят выше на 90⁰. Произведем расчет точек:

ω, рад/с	φi(ω), град
0	-90
0.1	-101.65
0.2	-112.48
0.3	-121.9
0.5	-136.71
1	-156.86
2	-172.8
3	-180.74
10	-208.1
16	-222.04
30	-240
100	-260.24

Таблица 6. Изменение значение фазового угла для ряда частот.

График логарифмической амплитудно-частотной характеристики L₂(ω) представляет собой три участка:

• В этом случае прямая линия на низкочастотном интервале (₁) будет проходить с наклоном -20 дБ/дек по отношению к оси частот.

• Среднечастотный интервал (₁<₂). При частоте первой частоте сопряжения ₁ начинает влиять инерционность объекта на систему, поэтому наклон прямой по отношению к оси частот будет равен -40 дБ/дек.

• Высокочастотный интервал (>₂). На этом участке на систему начнет влиять инерционность исполнительного механизма, поэтому прямая будет иметь наклон по отношению к оси частот -60 дБ/дек.

Графики построенных логарифмических частотных характеристик изображены на комплексном чертеже стр.19 кривыми L₂(ω) и φ₂(ω).

Мы получили график L₂(ω), который является ЛАХ настроенной системы.

Определим коэффициент усиления регулятора.

По графику, изображенному на стр. 15 определяем ординату единичной частоты L₂(1) = -34 дБ, подставляем это значение:

L₂(1) = 20lgk₂= -34 дБ, (6.2)

где K- коэффициент усиления разомкнутой системы.

Выразим Kиз уравнения:

k₂=== 0,44 (6.3)

В настроенной системе регулирования общий коэффициент усиления выражается:

k₂=k_р·k₁

где k₁=k_об·k_им·k_д·1,

Выразим k_и:

k_р= = 459551.0207 (6.4)

Передаточная функция разомкнутой системы при подстановке параметров настроенного регулятора в (1.12), примет вид:

W(p) =(6.5)

Тогда передаточная функция замкнутой системы будет иметь следующий вид:

Ф(р) = (6.6)

Характеристический полином замкнутой системы будет иметь вид:

G(p) = 0.128p³+2.064p²+p+0,44. (6.7)

2.3 Оценка устойчивости системы при помощи алгебраического критерия Гурвица

При исследовании системы с использованием критерия устойчивости Гурвица, рассматривается характеристический полином замкнутой системы. По Гурвицу для устойчивой системы должны соблюдаться два условия:

1. Коэффициенты характеристического полинома должны быть больше нуля.

2. Должны быть положительны определители, составленные из этих коэффициентов.

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид [4]:

(7.0)

Запишем характеристический полином системы:

G(p)=G₀p³+G₁p²+G₂p+G₃, (7.1)

где G₀=0.128;G₁=2.064;G₂=1;G₃=0.44;

Таблица Гурвица в этом случае будет иметь следующий вид (7.2):

(7.2)

Для устойчивости системы необходимо выполнение требований G₀>0;G₁>0;G₂>0;G₃>0, а также.

Произведём проверку по критерию Гурвица:

1) G_i>0 – выполняется,

2) ∆₂>0 – так как характеристический полином 3-го порядка (степень знаменателя равна 3, то достаточно проверить 2-й определитель:

Δ₂=2.064*1-0.128*0.44=2.00768>0 ,

Определитель получился положительным, следовательно, критерий устойчивости Гурвица подтверждает устойчивость разработанной системы, с учетом регулятора.