20. Минимальное хэмминговое расстояние для кодов, которые только исправляют ошибки кратности s. (пояснить геометрически, примером разрешенных слов, взятых из множества трехразрядных кодовых слов).

Рисунок. Обнаружение d_min для кода, обнаруживающего ошибки кратности S, аналогично обнаружению ошибок кратности r. Если требуется исправит ошибки кратности S, то d_min должно быть не менее 2S + 1 (d_min ≥ 2S + 1). А если требуется обнаруживать ошибки кратности r > S, то d_min ≥ r + S + 1.

21. Минимальное хэмминговое расстояние для кодов, которые только обнаруживают ошибки кратности r и исправляют ошибки кратности s.

Пусть требуется исправлять все ошибки, вплоть до кратности S. Выясним, какое число разрешенных слов может быть использовано на данном множестве всех n-разрядных слов. Очевидно, что количество непересекающихся подмножеств может быть не больше, чем 2^k. Для возможности исправления каждому вектору ошибки (S – кратному) необходимо сопоставить запрещенное слово. По этой причине число запрещенных слов должно быть не меньше, чем число исправляемых ошибок.

А если требуется обнаруживать ошибки кратности r > S, то d_min ≥ r + S + 1.

22. Построить множество n-разрядных кодовых слов с минимальным хэмминговым расстоянием, равным dmin.

Пусть в качестве n-разрядных слов используются все трехразрядные. Если минимальное Хэмминговое расстояние d_min = 1, то все данные слова окажутся разрешенными, не будет запрещенных слов и невозможно будет не только исправить, но и обнаружить ошибки.

1. 000

2.  001

3.  010

4.  011

5.  100

6.  101

7.  110

8.  111

Выберем из этого множества на роль разрешенного такие, минимального хэмминговое расстояние между которыми равно d_min = 2. Пусть в качестве таких выступают те слова, которые имеют четное число единиц.

000

011 - > разрешенные слова.

101

110

В случае происхождения однократной ошибки (r = 1) любое из этих слов трансформируется в запрещенное слово с нечетным числом единиц. Таким образом, такой код с d_min = 2 может обнаруживать все однократные ошибки.

Выберем в качества разрешенных такие, для которых d_min = 3.

001

000 010

100

d_min = 3.

011

111 101

110

Поставим в соответствие каждому из этих слов соответствующие запрещенные слова. При этом любая однократная ошибка переводит соответствующее разрешенное слово в подмножество принадлежащих ему разрешенных слов. Это позволяет исправить все однократные ошибки.

23. Способы разбиения всего множества запрещенных кодовых слов на непересекающиеся подмножества; числа всех кодовых слов, запрещенных и разрешенных слов, непересекающихся подмножеств.

Первый способ – разбиение всех запрещенных слов на непересекающиеся подмножества по принципу принадлежности (близости) запрещенного слова к разрешенному кодовому слову. При этом «вокруг» каждого разрешенного кодового слова группируются такие запрещенные слова, которые «ближе» к нему, чем к другим разрешенным словам. В этом случае в качестве разрешенных кодовых слов следует выбирать такие, которые составляют множество элементов, удаленных друг от друга на расстояние не меньше некоторой величины (называемой минимальным Хэмминговым расстоянием). При таком способе разбиения дешифратор выносит решение в пользу того разрешенного слова, расстояние от которого до принятого слова меньше, чем до других разрешенных слов. Количество непересекающихся подмножеств запрещенных кодовых слов при этом равно числу разрешенных слов 2^k.

Второй способ – разбиение по принципу принадлежности запрещенного кодового слова к вектору ошибки или классу смежности. При таком разбиении декодер опознает не переданное ему слово, а вектор ошибки, которой оно оказалось поражено. Для этого декодер, учитывая содержимое избыточных и информационных разрядов, проверяет принятое слово на соответствие данному алгоритму кодирования и в результате вычисляет опознаватель (синдром) ошибки. В такой системе кодер должен по определенным правилам кодирования определять содержимое избыточных разрядов на основе известного содержимого информационных разрядов. Для определения содержимого каждого избыточного разряда применяет свое уравнение. Проверки всех уравнений дают множество всех нулей и единиц, называемых опознавателем ошибки. Если опознаватель состоит только из одних нулей, декодер делает вывод об отсутствии ошибки, иначе, по виду ненулевого опознавателя, декодер может определить вид ошибки, так как опознаватель указывает на принадлежность принятого слова подмножеству запрещенных слов, порожденных данным вектором ошибки. Два способа разбиения запрещенных слов на непересекающиеся подмножества хорошо интерпретируются с помощью таблицы. В первой строке таблицы размещаются только разрешенные слова, поэтому ее ширина равна 2^k. А число строк 2^n-k. В каждой другой строке размещаются запрещенные слова, образованные из разрешенных слов и соответствующего подлежащего исправлению вектора ошибок. Все строки, кроме первой, представляют непересекающиеся (по векторам ошибок) подмножества запрещенных кодовых слов, называемые классами смежности; их число равно 2^n-k-1. Таким образом, разбиение таблицы по столбцам демонстрирует разбиение всего множества запрещенных кодовых слов по приницпу близости к разрешенным кодовым словам, а разбиение по строкам – по приницпу принадлежности к вектору ошибки (классу смежности).