If it is possible to choose the constant in an o-estimate independent of Если есть возможность выбирать постоянная в o-оценка не зависит от

some parameter occurring in the definition of the function or the range of the некоторых параметров, входящих в определение функции или диапазон

estimate, we say that the estimate is uniform (or holds uniformly) with оценку, мы говорим, что оценка равномерна (или равномерно) с

respect to the given parameter. отношению к данному параметру. Uniform estimates are more informative and Равномерное оценки являются более информативными и

more useful than nonuniform estimates, and obtaining uniform estimates or более полезны, чем неоднородные оценки и получения равномерных оценок или

making non-uniform estimates uniform (eg, by making the dependence on делает неравномерные оценки форме (например, путем обеспечения зависимость от

parameters explicit) is a desirable goal. Параметры явные) является желательной цели.

Asymptotic Analysis Асимптотический анализ

2.9.2009 2.9.2009

Math 595, Fall 2009 Math 595, осень 2009

Page 5 Page 5

2.1. 2.1. THE “OH” NOTATIONS "OH" ОБОЗНАЧЕНИЯ

13 13

Example 2.5. Пример 2.5. In Example 2.2 we showed, by a simple continuity argument, В примере 2.2 мы показали, с помощью простого аргумента непрерывности,

that, for any positive constants A and ϵ, we have (x+1) , что для любой положительной константы и ε, имеем (х +1)

A

= O(exp((log x) = O (ехр ((войти х)

1+ϵ 1 + ε

)) ))

in the range x ≥ 1. в диапазоне х ≥ 1. While, in this case, the range x ≥ 1 could be chosen Хотя, в данном случае, диапазон х ≥ 1 могут быть выбраны

independently of the constants A and ϵ, this is not true for the O-constant независимо от константы и ε, это не относится к O-постоянной

c. с. Thus, to indicate the (possible) dependence of the O-constant on A and Таким образом, чтобы указывать на (возможно) зависимость O-постоянных на и

ϵ, we should write this O-estimate more precisely as ε, мы должны написать это O-более точно оценить как

(x + 1) (Х + 1)

A

= O = O

A,ϵ , Ε

( (

exp ехр

( (

(log x) (Вход х)

1+ϵ 1 + ε

)) ))

(x ≥ 1). (Х ≥ 1).

In general, the subscript notation simply says that the constant may В общем, обозначение индекса просто говорит, что постоянная мая

depend on the indicated parameters, not that it is not possible (for example, в зависимости от указанных параметров, не то, что это не возможно (например,

through a more clever argument) to find a constant independent of the за счет более умные аргументы), чтобы найти постоянную, не зависящую от

parameters. параметров. However, in this particular example, it is easy to see that the Тем не менее, в данном конкретном примере, то легко видеть, что

constant necessarily has to depend on both parameters A and ϵ. постоянная обязательно должна зависеть от двух параметров и ε.

2.1.3 Definition of “big oh”, general case 2.1.3 Определение "большой ой", общий случай

If f(s) and g(s) are functions of a real or complex variable s and S is an Если F (S) и G (S) являются функциями от действительного и комплексного переменного с и S является

arbitrary set of (real or complex) numbers s (belonging to the domains of f произвольный набор (действительных или комплексных) чисел с (принадлежность к области F

and g), we write и г), запишем

f(s) = O(g(s)) (s ∈ S), F (S) = O (G (S)) (S ∈ S),

if there exists a constant c such that если существует такая константа с, что

|f(s)| ≤ c|g(s)| (s ∈ S). | F (S) | ≤ C | G (S) | (S ∈ S).

To be consistent with our earlier definition of “big oh” we make the following Чтобы быть в соответствии с нашей предыдущей определение "большой ой" мы делаем следующее

convention: If a range is not explicitly given, then the estimate is Конвенция: Если диапазон не указан явно, то оценка

assumed to hold for all sufficiently large values of the variable Предполагается, что при всех достаточно больших значениях переменной

involved, ie, in a range of the form x ≥ x участвует, т. е. в диапазоне от вида х ≥ х

0 0

, for a suitable constant , Подходящую постоянную

x х

0 0

. .

Example 2.6. Пример 2.6. Given any positive constant r < 1, we have Для любой положительной константы г <1, имеем

log(1 + z) = O Журнал (1 + г) = O

r г

(|z|) (|z| < r). (| Г |) (| г | <г).

Proof. Доказательство. Note that the function log(1 + z) is analytic in the open unit disk Отметим, что функция журнала (1 + г) аналитична в открытом единичном круге

|z| < 1 and has power series expansion | Г | <1 и имеет разложение в степенной ряд

log(1 + z) = войти (1 + г) =

∞ ∞

∑ Σ

n=1 п = 1

(−1) (-1)

n+1 N +1

n п

z г

n п

(|z| < 1). (| Г | <1).

Asymptotic Analysis Асимптотический анализ

2.9.2009 2.9.2009

Math 595, Fall 2009 Math 595, осень 2009

Page 6 Page 6

14 14

CHAPTER 2. ГЛАВА 2. ASYMPTOTIC NOTATIONS Асимптотические ОБОЗНАЧЕНИЯ

Hence, in |z| < 1 we have Таким образом, в | г | <1 имеем

|log(1 + z)| ≤ | Войти (1 + г) | ≤

∞ ∞

∑ Σ

n=1 п = 1

1 1

n п

|z | Г

n п

| ≤ | ≤

∞ ∞

∑ Σ

n=1 п = 1

|z| | Г |

n п

= =

1 1

1 − |z| 1 - | г |

|z|. | Г |.

If now z is restricted to the disk |z| < r (with r < 1), then the above Если теперь г ограничено в круге | г | <г (с г <1), то выше

bound becomes ≤ (1−r) связан становится ≤ (1-г)

−1 -1

|z|, so the required inequality holds with constant | Г |, так что требуемое неравенство выполняется с постоянным

c = c(r) = (1−r) С = С (г) = (1-R)

−1 -1

. . (This is an example where the O-constant depends on (Это пример, где O-константа зависит от

a parameter occurring the definition of the range.) Параметр, происходящих определение диапазона).

Further generalizations to functions of more than one variable can be Дальнейшие обобщения на функции более чем одной переменной может быть

made in an obvious manner. сделал очевидным образом.

Example 2.7. Пример 2.7. For any positive real number p we have Для любых положительных вещественных числа р мы имеем

(x + y) (Х + у)

p р

= O = O

p р

(x (Х

p р

+ y + У

p р

) (x,y ≥ 0). ) (Х, у ≥ 0).

More generally, we have, for any positive integer n and any positive real В целом, у нас есть, для любого натурального п и любом положительном реальном

number p, Число р,

(a (

1 1

+ ··· + a + · · · +

n п

) )

p р

= O = O

n,p п, р

(a (

p р

1 1

+ ··· + a + · · · +

p р

n п

) (a ) (

1 1

,...,a , ...,

n п

≥ 0), ≥ 0),

where now the O-constant depends on both n and p. где сейчас O-постоянная зависит как от п и р.

Proof. Доказательство. The estimate (in the second, more general, form) can be proved via Оценка (во второй, более общий, форма) может быть доказано с помощью

Holder's inequality; alternatively, it follows immediately from the simple Неравенство Гельдера, наоборот, сразу следует из того простого

observation наблюдение

( (

n п

∑ Σ

i=1 я = 1

a

i я

) )

p р

≤ ≤

( (

nmax Nmax

i я

a

i я

) )

p р

= n = П

p р

(max (Макс.

i я

a

i я

) )

p р

≤ n ≤ п

p р

n п

∑ Σ

i=1 я = 1

a

p р

i я

. .

2.1.4 “Oh” terms in arithmetic expressions 2.1.4 "О" условия в арифметических выражениях

By a term O(g(s)) in an arbitrary arithmetic expression we mean a function По термин O (G (S)) в произвольное арифметическое выражение мы имеем в виду функции

f(s) that satisfies the inequality in the definition of the O-estimate. F (S), которая удовлетворяет неравенству в определении O-оценки. In other В других

words, an O-term can be thought of as a “black box” hiding some unknown словами, O-член можно рассматривать как "черный ящик" скрывается неизвестно

function, and the only information we have about this function is that it функции, и только у нас информации об этой функции является то, что

satisfies the appropriate inequality. удовлетворяет соответствующим неравенством.

This is a natural and useful convention that greatly simplifies the nota- Это естественная и полезная конвенции, которая значительно упрощает НОТА-

tion when working with O-expressions. ния при работе с O-выражений. For example, this convention allows Например, эта конвенция позволяет

us to write the relation нам написать соотношение

log(1 + x) − x = O(x Журнал (1 + х) - х = O (х

2 2

) (|x| ≤ 1/2) ) (| Х | ≤ 1/2)

Asymptotic Analysis Асимптотический анализ

2.9.2009 2.9.2009

Math 595, Fall 2009 Math 595, осень 2009

Page 7 Page 7

2.1. 2.1. THE “OH” NOTATIONS "OH" ОБОЗНАЧЕНИЯ

15 15

more naturally as более естественно, как

log(1 + x) = x + O(x Журнал (1 + х) = х + O (х

2 2

) (|x| ≤ 1/2). ) (| Х | ≤ 1/2).

The latter can be thought of as a succinct form of the following rather Последнее можно рассматривать как краткую форму, а следующие

unwieldy statement. громоздким заявлении. “log(1+x) is equal to x plus a function that, in absolute "Журнал (1 + х) равна х, плюс функция, которая, в абсолютных

value, is bounded by a constant times x значение, ограничена постоянной раза х

2 2

in the range |x| ≤ 1/2.” в пределах | х |. ≤ 1/2 "

Example 2.8. Пример 2.8. Power series expansions naturally lead to O-estimates in the Разложений в степенные ряды естественным образом приведет к O-оценки в

above more generalized sense. выше более обобщенном смысле. In particular, if f(z) is a function analytic in В частности, если Р (г) является аналитической в

some disk |z| < R, then for any r < R and any fixed positive integer n, we некоторые круге | г | <R, то для любого г <R и любого фиксированного натурального числа п,

have, by Taylor's theorem, есть, по теореме Тейлора,

f(z) = Р (г) =

n п

∑ Σ

k=0 к = 0

a

k к

z г

k к

+ O + O

r,n г, п

(|z| (| Г |

n+1 N +1

) (|z| < r), ) (| Г | <г),

where the a где

k к

are the Taylor coefficients of f(z). коэффициенты Тейлора Р (г).

Example 2.9. Пример 2.9. A term O(1) simply stands for a bounded function. Термин O (1) просто означает ограниченную функцию. For Для

example, the “floor function” [x] satisfies Например, "пол функцию" [х] удовлетворяет

[x] = x + O(1), [Х] = х + O (1),

since |[x] − x| ≤ 1. Так как | [х] - х | ≤ 1.