Nerovnice

• Nerovnice s jednou neznámou:

  • Lineární nerovnice: lineární nerovnice s neznámou ve jmenovateli, s parametrem, s absolutními hodnotami

  • Kvadratické nerovnice: kvadratické nerovnice s neznámou ve jmenovateli, s parametrem, s absolutními hodnotami

  • Iracionální nerovnice

  • Algebraické nerovnice vyššího stupně v rozloženém tvaru

  • Algebraické nerovnice řešené metodou substituce

• Nerovnice se dvěma s více neznámými

• Soustavy nerovnic s dvěma a více neznámými

Nerovnice s jednou neznámou

• Nerovnice o jedné neznámé je zápis nerovnosti dvou výrazů ve tvaru:

  • L(x) > P (x), L(x) < P (x), L(x) P (x), L(x) P (x), s proměnou x a z daného číselného oboru M.

• Terminologie je stejná jako u rovnic.

• Řešením nerovnice nazýváme každé číslo, jeho dosazením do nerovnice za neznámou dostaneme pravdivou nerovnost. Všechna řešení dané nerovnice zapisujeme do množiny kořenů K.

• Dvě nerovnice, které mají stejné množiny řešení, nazýváme ekvivalentní nerovnice.

• Nerovnice řešíme stejnými postupy jako rovnice a shrnujeme závěr řešení.

• Vzhledem k tomu, že M R, je také často K  R, tedy množina nekonečně mnoha reálných čísel.

  

  3x – 7 5x – 13

  13 – 7 5x – 3x

  6 2x

  x 3

  K = <3; + )

• Pak je nemožné provést pro všechna tato čísla zkoušku. Proto se při řešení nerovnic snažíme používat pouze ekvivalentní úpravy.

Ekvivalentní úpravy nerovnic

• Ekvivalentní úpravy nerovnice pro M R:

  • Výměna stran nerovnice se současnou změnou znaku nerovnice v obrácený

  • Nahrazení strany nerovnice výrazem, který se jí rovná v oboru řešení nerovnice (znak nerovnosti se nemění)

    

    x + 4 > - 2x + 10

    x + 2x > 10 – 4

    3x > 6 │ : 3

    x > 2 → x (+2; )

    – x + 4 > 2x + 10

    – x – 2x > 10 – 4

    – 3x > 6 │: (– 3)

    → otočíme znaménko nerovnosti

    x < - 2 → x (- ; -2)

  • Přičtení stejného čísla nebo výrazu, který se jí rovná v oboru řešení nerovnice (znak nerovnosti se nemění)

– x + 4 > │∙ 2 →vynásobíme dvěma

– 2x – 2x > 10 – 8

– 4x > 2 │ : (-4)

x < - 0,5 →otočili jsme znaménko nerovnosti

x (- - 0,5)

• Vynásobení obou stran nerovnice kladným číslem nebo výrazem nabývajícím jen kladných hodnot v oboru řešení nerovnice (znak nerovnosti se nemění).

• Vynásobení obou stran nerovnice záporným číslem nebo výrazem nabývajícím jen záporných hodnot v oboru řešení nerovnice se současnou změnou znaku nerovnosti v obrácený.

│²

2x² + 4 4x² │– 4x²

– 2x² + 4 0 │: (-2)

• Umocněním obou stran nerovnice přirozeným mocnitelem, pokud obě strany nerovnice nabývají nezáporných hodnot v oboru řešení nerovnice (znak nerovnosti se nemění)

• Odmocnění obou stran nerovnice přirozeným odmocnitelem, pokud obě strany nerovnice nabývají jen nezáporných hodnot v oboru řešení nerovnice (znak nerovnosti se nemění)

• Zlogaritmováním obou stran nerovnice logaritmem téhož základu, pokud obě strany nerovnice nabývají jen nezáporných hodnot v oborou řešení nerovnice, přitom změna znaku nerovnosti závisí na základu a logaritmu. Pro a > 1 se znak nerovnosti nemění, pro 0 < a < 1 se znak nerovnosti mění v obrácený.

Lineární nerovnice

• Lineární nerovnice s neznámou x R je každá nerovnice ve tvaru:

  • ax + b > 0,

  • ax + b < 0,

  • ax + b 0,

  • ax + b 0, kde a, b jsou reálné koeficienty.

3 ∙ (5x – 7) 12x – 20

15x – 21 12x – 20

15x – 21 12x – 20

3x 1 │:3

x

x <1/3; )

3 – > - │∙24

72 – 36x > 15 – 16x + 12

-20x > - 45

x <

x <

K

3x – 1 < 1 - │∙2

2 ∙ 3x – 2 ∙ 1 < 2 ∙ 1 – 2 ∙

6x – 2 < 2 – (2 – x)

6x – 2 < 2 – 2 + x

5x < 2 │:5

x <

x

Tabulka znamének: horní řádek tabulky je číselná osa, kam umístíme nulové body v pořadí podle velikosti. Do prvního sloupce tabulky umístíme pod sebe členy součinu. Pro každý řádek zaznačíme nulou nebo kolečkem, kde se daný výraz nuluje. Tam se bude měnit znaménko.

L ineární nerovnice v součinovém tvaru

Nerovnice v součinovém tvaru

• Upravíme tak, aby na jedné straně byla 0

• Členky součinu rozložíme na co nejjednodušší výrazy

• Najdeme čísla, kde se nulují členy součinu

• Uděláme tabulku znamének s pomocí těchto čísel

• Vyberme intervaly se správnými znaménky

x² – 2x 0

x ∙ (x – 2) 0 → → → → → nulové body: 0, - 2 → → → tabulka →

• Jako řešení vyberme intervaly, jejichž znaménka dopovídají požadované nerovnosti, tedy interval splňující požadovanou nervosnost je x .

Lineární nerovnice s neznámou ve jmenovateli

Převod na podílový tvar:

• Při řešení nerovnic s neznámou ve jmenovateli je výhodné použít úpravu na podílový tvar nerovnice.

• To znamená upravit nerovnici tak, abychom na jedné straně získali výraz ve tvaru podílu (lomený výraz, tj. zlomek), na druhé straně nerovnice 0.

• V dalším řešení nerovnice už jen porovnáme lomený výraz s nulou.

• Nerovnice v podílovém tvaru: Jsou nerovnice, které obsahují na jedné straně podíl a libovolného počtu lineárních členů nebo dvojčlenů.

  • Např.: 1 0 - 2

< 1

< 1 │ - 1

– 1 < 0

< 0 K = ( - 2/3; )

→Pro splnění této nerovnice musí platit: 2x + 3 > 0, tedy x > -

Násobení jmenovatelem:

• Pokud bychom chtěli násobit výrazem s neznámou, musíme násobení rozdělit do dvou podmínek.

  • Buď výraz nabývá kladných hodnot

  • Nebo výraz nabývá záporných hodnot v oboru řešení nerovnice.

  

  Postup:

  1. Nerovnici převedeme na podílový tvar

  2. Čitatele i jmenovatele porovnáváme s nulou s příslušným znaménkem nerovnosti

• Podle dané podmínky se pak násobením nerovnice nemění nebo mění znaménko nerovnosti.

Násobení výrazem (2x + 3):

< 1

< 1 │ ∙ (2x + 3)

Jestliže 2x + 3 > 0, tzn. x > - 2/3, pak to po vynásobením nerovnice přejdeme en ekvivalentní nerovnici 2x < 2x + 3, které vyhovují všechna reálná čísla, ale vzhledem k podmínce je K₁ = (-2/3, ).

Jestliže 2x + 3 tzn. x < - 2/3, pak to vynásobení nerovnice přejdeme na ekvivalentní nerovnici 2x > 2x + 3, která nemá řešení. Proto K₂ = { }.

Výsledná množina kořenů zadané nerovnice je:

K = K1 K2 =

Kvadratické nerovnice

• Kvadratické nerovnice s neznámou x R je každá nerovnice tvaru:

  • ax² + bx + c < 0

  • ax² + bx + c > 0

  • ax² + bx + c 0

  • ax² + bx + c 0

• Při řešení kvadratické nerovnice prostupujeme tak, že nejprve najdeme kořeny odpovídající kvadratické rovnici x₁ a x₂. Pokud tyto kořeny existují, rozložíme kvadratický trojčlen na součin a dál řešíme nerovnici v součinném tvaru, tedy součin dvou lineárních dvojčlenů porovnáváme s nulou.

  • x² – 2x – 3 > 0

  • (x – 3) ∙ (x + 1) > 0

Příklad: x² – 2x – 3 > 0

Výsledek zapisujeme K = K₁ K₂ = (- (3, )

x_1,2 =

K = {-1, 3}

K₁ = (3, )

K₂ = (-

Rozklad na součin:

(x – 3) ∙ (x + 1) > 0

Regresivní a korelační analýza

• Regresivní analýzou zkoumáme průběh a korelační analýzou zkoumáme těsnost závislostí mezi kvantitativními znaky – vztahy závislé proměnných (y) na nezávisle proměnných (x)

• Předpoklad: Před každým výpočtem, je nezbytně nutné se ujistit, že mezi proměnnými závislost existuje!

Regresní analýza

• Regrese je vyjádřena matematickou funkcí, která udává vlastní průměrný průběh sledované závislosti mezi proměnnými x a y. Parametry regresivní funkce jsou počítány.

• Před vlastním výpočtem regresní funkce je nutno zvolit vhodný typ funkce pro vyjádření průměrného průběhu závislostí.

• Typy regresivních funkcí:

  • Lineární funkce y = a + bx

  • Kvadratické funkce y = a + b₁ x + b₂ x²

  • Odmocninná funkce y = a + b₁ x + b₂

  • Logaritmická funkce y = a + b logx

  • Mocninná funkce y = ax^b

  • Exponenciální funkce y = ab^x

• Pomocí regresivních funkcí se hodnotám nezávisle proměnné x přiřazují průměrné (střední) hodnoty závisle proměnné y.

Lineární funkce

• Lineární funkce y = a + bx je rovnici přímky.

a…absolutní člen

b… regresní koeficient

x … nezávsle proměnná

y … závislé proměnná

• Je-li regresní funkcí přímka, jedná se o lineární regresi.

Lineární regrese

• Vynesení skutečně zjištěných uspořádaných dvojic proměnných do pravoúhlého osového systému – bodový diagram.

Korelační pole

• Vyneseno uspořádané dvojice odpovídajících údajů vytvářející korelační pole.

• Korelačním polem probíhá vhodně zvolená regresivní funkce. Vhodně zvolená regresní funkce – regresní přímka dobře kopíruje korelační pole.

• Korelační pole vhodně nekopíruje nelineární funkce.