7.2.3. Интерпретация параметров

Из соотношения (7.1) следует, что изменение независимой переменной х в каком-либо периоде вре­мени t влияет на значение переменной у в данном периоде и в течение p следующих периодов времени. В последующие периоды это влияние проявляться не будет. Таким образом, временной интервал влияния конечен и ограничен p+1 периодом.

Коэффициент регрессии b₀ при переменной x_t называют краткосрочным мультипликатором. Он характеризует среднее абсолютное изменение y_t при изменении x_t на одну единицу свое­го измерения в некотором периоде времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора х.

Величины (b₀ + b₁), (b₀ + b₁ + b₂) и т. д. называются промежуточными мультипликаторами. Они характеризует изменение y_t в течение двух, трех и т. д. периодов после изменения x_t на одну единицу.

Величина

b = b₀ + b₁ +...+ b_l. (7.12)

показывает максимальное суммарное изменение результирующей переменной у, которое будет достигнуто (по окончании текущего и p следующих периодов) под влиянием изменения фактора х на единицу в каком-либо периоде, и называется долгосрочным мультипликатором.

Например, для модели

y_t = 100 + 70x_t +25x_t–1 +5x_t–2

краткосрочный мультипликатор равен 70, т. е. увеличение x_t на 1 единицу ведет в среднем к росту показателя y_t на 70 единиц в том же периоде. В течение двух периодов показатель y_t возрастет на 70 + 25 = 95 единиц, а долгосрочный мультипликатор равен

b= (b₀ + b₁ + b₂) = 70+25+5 =100,

и, следовательно, суммарное изменение показателя y_t составит 100 единиц.

7.3. Модели авторегрессии

7.3.1. Интерпретация параметров

Рассмотрим модель авторегрессии первого порядка

. (7.13)

Коэффициент b₀, как и ранее, характеризует краткосрочное изменение y_t под воздействием изме­нения x_t на единицу в том же периоде. Изменение y_t на b₀ в данном периоде в силу соотношения (7.13) повлечет в следующем периоде изменение y_t+1 на величину b₀∙c₁. В периоде t + 2 изменение y_t+2 составит и т. д. Долгосрочный мультипликатор в модели авторегрессии рассчитывается как бесконечная сумма

(7.14)

Если выполняется условие | c₁| < 1, то сумма в правой части (7.14), т. е. величина долгосрочного мультипликатора, будет конечная

где | c₁| < 1. (7.15)

Напомним, что неравенство | c₁| < 1 является условием стационарности авторегрессионного процесса первого порядка АR(1), определяемого уравнением (7.13).

В модельном примере

y_t = 200 + 50x_t +0,6 y_t-1,

краткосрочный мультипликатор равен 50, следовательно, увеличение x_t на 1 единицу приводит к росту y_t в том же периоде в среднем на 50 единиц. Долгосроч­ное изменение y_t составит b = 50 /(1–0,6) = 125 единиц, т. е. изменение x_t на 1 единицу в каком-либо периоде приведет к изменению y_t в долгосрочной перспективе в среднем на 125 единиц.

7.3.2. Оценка параметров моделей авторегрессии

Рассмотрим модель авторегрессии первого порядка

. (7.16)

Одна из основных проблем при построении моделей авто­регрессии (при оценке параметров) связана с наличием корреляционной зависимости между переменной y_t-1 и остатками ε_t в уравнении регрес­сии, что приводит при применении обычного МНК к получению смещенной оценки параметра при переменной y_t-1.

Для преодоления этой проблемы обычно используется метод инструментальных переменных, согласно которому перемен­ная y_t–1 из правой части модели заменяется на новую переменную ŷ_t–1, которая, во-первых, должна тесно коррелировать с y_t–1, и, во-вторых, не коррелировать с ошибкой модели ε_t.

В качестве такой переменной можно взять регрессию переменной y_t–1 на переменную x_t–1, определяемую соотношением

, (7.17)

где константы d₁, d₂ являются коэффициентами уравнения регрессии

, (7.18)

полученными с помощью обычного МНК.

Формула (7.17) получена в предположении о наличии зависимости y_t–1 от x_t–1, как следствия предполагаемой зависимости y_t от x_t. Переменная , во-первых, тесно коррелирует с y_t–1, во-вторых, она не будет коррелировать с ошибкой ε_t, так как она линейно зависит от x_t–1, некоррелирующей с ε_t по предположению.

В результате, для оценки параметров уравнения (7.16) используется уравнение

, (7.19)

где значения переменной рассчитаны по формуле (7.17).

Заметим, что функциональная связь между переменными и x_t–1 (7.13) приводит к появлению высо­кой корреляционной связи между переменными и x_t. Для преодоления этой проблем в модель (7.16) и, соответственно, в модель (7.19) можно включить фактор времени в качест­ве независимой переменной. Модель при этом примет вид

. (7.20)

Для проверки гипотезы об автокорреляции остатков в моде­лях авторегрессии (7.16) используется критерий h Дарбина. Фактическое значение критерия вычисляется по формуле

(7.21)

где d – фактическое значение критерия Дарбина–Уотсона для данной модели;

n – число наблюдений в модели;

V – квадрат стандартной ошибки при лаговой результативной пере­менной.

В качестве критических значений критерия при уровне значимости α берутся значения t_α/2 и t_1–α/2 квантилей порядка α/2 и1–α/2 для стандартизованного нормального распределения. Нулевая гипотезы об отсутствии автокорреляции не отвергается, если выполняется условие

t_α/2 < h < t_1–α/2. (7.22)

Заметим, что этот критерий применим, если n∙V < 1.