7.2. Модели с распределенным лагом

Рассмотрим модель с распределенным лагом порядка p (7.1)

.

Основную проблему при оценке параметров составляет, как правило, сильная корреляция между факторами x_t, x_t–1, x_t–2, … . Для ее преодоления применяется преобразование лаговых переменных, либо вводятся определенные предположения о характере коэффициентов регрессии.

7.2.1. Оценка параметров модели с распределенным лагом методом Койка

В методе Койка предполагается, что коэффициенты при лаговых переменных убывают в геометрической прогрессии

. (7.3)

Модель (7.3) включает три параметра a, b и γ, для определения которых применяется нелинейный метод наименьших квадратов. Согласно этому методу:

а) Задаются границы изменения параметра γ (в простейшем случае 0 и 1) и определяются всевозможные значения параметра γ с достаточно малым шагом (например, 0,01). Для каждого значения параметра γ вычисляются значения новой переменной z

, (7.4)

где величина p выбирается такой, чтобы воздействием последующих лаговых значений x_t–p+i можно было пренебречь;

б) Затем оценивается уравнение регрессии

. (7.5)

в) Далее выбирается такое значение параметра γ, которому соответствует наибольший коэффициент детерминации R² при оценке уравнения (7.5). Полученные при этом оценки параметров a и b принимаются в качестве оценок параметров исходного уравнения (7.3).

Другой подход к определению параметров уравнения (7.3) основан на, так называемом, преобразовании Койка. Запишем модель (7.3) для периода t – 1

.

Умножив обе части этого уравнения на γ и вычтя их из уравнения (7.3) после некоторого преобразования получим следующее соотношение

. (7.6)

Полученное уравнение представляет собой авторегрессионную модель первого порядка. Оценив параметры этого уравнения, можно получить оценки параметров и a, b и γ исходного уравнения (7.3). Заметим, что применение в данном случае для оценки параметров обычного метода наименьших квадратов даст смещенные и несостоятельные оценки вследствие зависимости фактора y_t–1 от одной их составляющих случайного члена ε_t–1.

7.2.2. Оценка параметров модели с распределенным лагом методом Алмон.

В методе Алмон для преодоления сильной корреляции между факторами x_t, x_t–1, x_t–2, … используется переход к k+1 новым переменным z_j с меньшей корреляционной зависимостью по формулам

, (j = 0, 1, 2, …, k) (7.7)

где коэффициенты подобраны соответствующим образом.

Согласно методу Алмон, коэффициенты представляют в виде полиномов заданной степени k от величины лага j

b_j = с₀ + c₁j + c₂ j² +…+ с_k j^k . (7.8)

В частности:

для полинома первой степени (при k = 1): b_j = с₀ + c₁j;

для полинома второй степени (при k = 2): b_j = с₀ + c₁j + с₂ j² и т. д.

Выражения для коэффициентов b_j модели (7.1) принимают вид:

b₀ = с₀;

b₁ = с₀ + c₁ + …+ с_k;

b₂ = с₀ + 2c₁ + 4c₂ +…+ 2^kс_k; (7.9)

…………………………………

b_p = с₀ + pc₁ + p²c₂ +…+ p ^kс_k;

Подставив в (7.1) найденные соотношения для b_j, и вводя новые перемен­ные z_j с помощью соотношений (7.11), представим исходное уравнение (7.1) в следующем виде

, (7.10)

где

(7.11)

После определения численных значений параметров с_j модели (7.10) коэффициенты исходной модели b_j находятся из соотношений (7.9).

Применение метода Алмон для расчета пара­метров модели с распределенным лагом предполагает предварительное определение максимальной величины лага p и степени полинома k. Оптимальную величину лага можно при­ближенно определить на основе априорной информации эконо­мической теории или проведенных ранее эмпирических исследо­ваний. Приближенно в качестве величины лага можно взять значение максимального лага, для которого парный коэффициент корреляции между y и лаговыми переменными x_t, x_t–1, x_t–2, … остается значимым.

Можно также построить несколько урав­нений регрессии с разной величиной лага и выбрать наилучшее.

Что касается степени полинома k, то на практике обычно ограничиваются рассмотрением полиномов второй и третьей степени. Величину k также можно определять путем сравнения моделей, построенных для различных значений k.

Следует отметить, что при наличии сильной корреляционной связи между исходными лаговыми переменными x_t, x_t–1, x_t–2, … переменные z_j, представляющие собой их ли­нейные комбинации, также будут коррелиро­вать между собой. Однако коэффициенты в формулах (7.11) подобраны таким образом, что такая зависимость будет существенно меньше.

Метод Алмон имеет следующие достоинства: он достаточно универсален и с помощью введения небольшого количества вспомогательных переменных z_j в уравнении (7.10) (k = 2, 3) позволяет построить модели с распределенным лагом любой длины.