6.6.2. Прогнозирование arima-процессов

Для прогнозирования ARIMA-процессов Х_t могут быть применены два подхода:

1) Получение прогнозных значений ARMA-процесса по методике прогнозирования ARMA-процессов (см. разд. 6.4) с последующим последовательным вычислением прогнозных значений , и т. д., пока не будут получены .

2) Построение прогнозной формулы с помощью модификации уравнения (6.47) путем подстанов­ки разностей вместо Y_t и последующего разрешения полученного урав­нения относительно X_t. В результате, будет получена ARMA-модель нестационарного процесса, которая может быть преобразо­вана в формулу для прогнозирования на h шагов вперед величин с началом отсчета в момент времени Т по методике, описанной в разделе 6.4.

Рассмотрим ARIMA(0,1,0)–модель случайного блуждания Y_t = ΔX_t = ε_t или в преобразованном виде X_t = X_t–1 + ε_t.

Формула экстраполяции имеет вид

X_T+h = X_T+h–1 + ε_t, (6.48)

а формула прогноза дается соотношением

, для h ≥ 1. (6.49)

Диспер­сия ошибки прогноза var(e_T(h))= h·σ²_ε. увеличивается с ростом h. Ширина доверительного интервала прогноза возрастает пропорционально .

Если X_t – случайное блуждание со сдвигом

X_t = X_t–1 + α₀ + ε_t, (6.50)

тогда формула для прогнозирования имеет вид

, (6.51)

что соответствует простому линейному тренду. Дисперсия ошибки прогноза такая же, как и в предыдущем случае с α₀ = 0.

Рассмотрим ARIMA(1,1,1)–модель

∆X_t – α₁ ∆X_t–1 = X_t – X_t–1 - α ₁·(X_t–1 - X_t–2) = α ₀ + ε_t – β₁ ·ε_t–1,

которая после преобразования принимает вид

X_t = α₀ + (1+ α₁ )X_t–1 – α₁ X_t–2 + ε_t – β ₁ ·ε_t–1. (6.52)

Формулы для прогнозирования в момент t = Т + h определяются соотношениями

,

, (6.53)

для h ≥ 3.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение стохастического процесса.

2. Дайте определение стационарного стохастического процесса в слабом (широком) смысле.

3. Какой стохастический процесс называется нормальным?

4. Какой стохастический процесс называется «белый шумом»?

5. Какими параметрами характеризуется стационарный процесс?

6. Дайте определение автоковариационной функции.

7. Какие методы применяются для распознавания стационарности временных рядов?

8. Приведите примеры параметрических тестов проверки временных рядов на стационарность?

9. Приведите примеры непараметрических тестов проверки временных рядов на стационарность?

10. Охарактеризуйте процессы AR.

11. В каких случаях процессы AR являются стационарными?

12. Охарактеризуйте процессы MA.

13. Охарактеризуйте процессы ARMA.

14. Опишите модель ARMA(3,2).

15. Как используется автокорреляционная функция для идентификации модели стационарного стохастического процесса?

16. Как используется частная автокорреляционная функция для идентификации модели стационарного стохастического процесса?

17. Как осуществляется прогнозирование ARMA-процессов?

18. Что может служить признаком нестационарности временного ряда?

19. Для чего применяются Тесты Дики-Фуллера?

20. Охарактеризуйте процессы ARIMA.

21. Как осуществляется прогнозирование ARMA-процессов?