6.5.2. Тесты Дики-Фуллера
Тест Дики-Фуллера (Dickey-Fuller test, DF-тест) основан на оценке параметра λ = α1 – 1 уравнения
ΔYt = λ ·Yt–1 + εt, (6.41)
эквивалентного уравнению авторегрессии (6.39). Его называют также тестом на единичный корень.
Нулевая H0 и ей альтернативная H1 гипотезы определяются соотношениями: H0: λ = 0; H1: λ < 0.
Если значение t-статистики Стьюдента для параметра λ меньше нижнего порогового значения DF-статистики, то нулевую гипотезу λ =0 (о наличии единичного корня α1=1) следует отклонить и принять альтернативную о стационарности процесса Yt.
Таблицы теста Дики-Фуллера (DF-теста) рассчитаны для уровней значимости в 1, 5, 10 %. Указанные в таблице значения DF-теста – отрицательные.
DF-тест применим также для тестирования на единичный корень случайных процессов со смещением и со смещением и линейным детерминистическим трендом определяемых уравнениями:
∆Yt = α0 + α1·Yt–1 + ε t, (6.42)
∆Yt = α0 + α1·Yt–1 + α2·t + ε t, (6.43)
где α0 – константа, называемая смещением. При этом используются соответствующие таблицы критических значений DF-теста.
Отметим, что на практике трудно различить ситуации, когда следует применять DF-тест, а когда – DF-тест со смещением.
6.5.3. Модификации теста Дики-Фуллера для случая автокорреляции
При наличии автокорреляции в остатках εt используется обобщенный тест Дики—Фуллера (ADF-mecm), согласно которому в правую часть уравнения регрессии в качестве дополнительных факторов включаются лаговые значения переменной из левой части ∆yt-i
. (6.44)
Процедура тестирования, как и ранее, сводится к оценке значения t-критерия Стьюдента для параметра a1 и сравнении его с критическими значениями для ADF-теста, которые совпадают с критическими значениями обычного DF-теста.
Такой же подход, может быть применен и в случаях тестирования на единичный корень случайного процесса со смещением и случайного процесса со смещением и линейным детерминистическим трендом:
;
(6.45)
. (6.46)
Как и ранее, критические значения для ADF-теста те же самые, что и для обычного DF-теста.
6.5.4. Метод разностей и интегрируемость
Для практики большой интерес представляют, так называемые, интегрируемые нестационарные процессы. Это процессы, для которых с помощью последовательного применения операции взятия последовательных разностей из нестационарных временных рядов можно получить стационарные ряды.
Последовательные разности стохастического процесса определяются соотношениями:
∆Yt = Yt – Yt–1 – первые последовательные разности
∆2Yt = ∆Yt – ∆Yt–1 – вторые последовательные разности и т. д.
Если первые разности нестационарного ряда Yt стационарны, то ряд Yt называется интегрируемым первого порядка. Стационарный временной ряд называется интегрируемым нулевого порядка.
Если первые разности нестационарного ряда нестационарны, а вторые разности стационарны, то ряд Yt называется интегрируемым второго порядка. Если первый стационарный ряд получается после k-кратного взятия разностей, то ряд Yt называется интегрируемым k-го порядка.
6.6. Модели arima
6.6.1. Определение и идентификация модели
Рассмотрим интегрируемый порядка d нестационарный процесс Xt. Если при этом процесс Yt = ∆dXt, составленный из первых разностей d-порядка исходного процесса, является процессом АRМА(р,q), т. е.
Yt = α0 + α1Yt–1+ α2Yt–2 +…+ αpYt–p + εt – β1εt–1– β2εt–2 –…– β qεt–q, (6.47)
тогда Xt называется процессом ARIMA(p,d,q). На практике свободный член α0 часто опускается (приравнивается к нулю).
Можно считать, что большинство эмпирических временных рядов является реализациями процессов ARIMA.
Основная проблема в анализе временных рядов заключается в определении порядка модели ARIMA(p,d,q).
Необходимо оценить три основных параметра: d – порядок интегрируемости, порядок р компоненты AR и порядок q компоненты MA. Для экономических временных рядов параметр d обычно равен 1, возможны также значения 0 или 2. При определении параметров р и q используются характеристики автокорреляционной функции (ACF) и частной автокорреляционной функции (PACF). При этом предпочтение отдается моделям с наименьшим числом параметров.