6.4. Прогнозирование arma-процессов

6.4.1. AR-процессы

Рассмотрим стационарную AR-модель

Y_t = α₀ + α ₁Y_t–1 + α ₂Y_t–2+…+ α _pY_t–p + ε_t. (6.30)

Предположим, что прогноз Ŷ_Т(h) строится на h шагов вперед, начиная с момента времени Т. Запишем уравнение (6.30) для момента времени T+h

Y_T+h = α₀ + α ₁Y_T+h–1 + α ₂Y_T+h–2 +…+ α _pY_T+h–p + ε_T+h. (6.31)

При расчете прогнозного значения Ŷ_Т(h) в правую часть (6.31) вместо Y_T+i (i > 0) следует подставлять вычисленное ранее прогнозное значение Ŷ_Т(i). Тогда точечный прогноз будет определяться соотношениями:

Ŷ_Т(1) = α ₀ + α ₁Y_Т + α ₂Y_Т–1 +…+ α _pY_Т–p+1,

Ŷ_Т(2) = α ₀ + α ₁Ŷ_Т(1) + α ₂Y_Т +…+ α _pY_Т–p+2,

…… (6.32)

Ŷ_Т(p) = α ₀ + α ₁Ŷ_Т(p–1) + α ₂ Ŷ_Т(p–2) +…+ α _p–1 Ŷ_Т(1) + α _pY_Т ,

Ŷ_Т(h) = α ₀ + α ₁Ŷ_Т(h–1) + α ₂ Ŷ_Т(h–2) +…+ α _p Ŷ_Т(h–p+1) при h > p.

Доказано, что в бесконечном периоде математическое ожидание прогнозного значения Ŷ_Т асимптотически схо­дится к математическому ожиданию процесса Y_t, т. е. условное математическое ожидание ошибки прогноза равно нулю и оценка Ŷ_Т(h) является несмещенной, а дисперсия прогноза сходится к дисперсии процесса Y_t, т. е. к

Для модели AR(2)

Y_t = α₀ + α₁Y_t-1 + α₂Y_t-2+ ε_t

формулы прогнозирования имеют вид:

Ŷ_Т(1) = α₀ + α₁Y_Т + α₂Y_t–1,

Ŷ_Т(2) = α₀ + α₁ Ŷ_Т Ŷ_Т(1) + α₂Y_t, (6.33)

Ŷ_Т(h) = α₀ + α₁Ŷ_Т(h–1) + α₂ Ŷ_Т(h–2) при h ≥ 3.

6.4.2. MA-процессы

Рассмотрим теперь стационарную MA-модель

Y_t = ε_t – β₁ε_t–1– β₂ε_t–2 –…– β_qε_t–q. (6.34)

С учетом того, что величина ε_t для прогнозируемых моментов времени не известна точечный прогноз согласно модели (6.34) будет определяться соотношениями:

Ŷ_Т(1) = – β ₁·ε_Т – β ₂·ε_Т–1 – … – β _q·ε_Т–q+1,

Ŷ_Т(2) = – β ₂·ε_Т – … – β _q·ε_Т-q+2,

…… (6.35)

Ŷ_Т(q) = – β _q·ε_Т,

Ŷ_Т(h) = 0 при h > q.

Дисперсия ошибки прогноза для h > q равна дисперсии процесса Y_t, т. е. var(e_T(q)) = σ²_ε(1+ β ²₁+…+ β ²_q) = σ²_Y .

Для процесса MA(2)

Y_t = ε_t – β₁ε_t–1 – β₂ε_t–2

формулы для прогнозирования имеют вид

Ŷ_Т(1) = – β ₁·ε_Т – β ₂·ε_Т–1

Ŷ_Т(2) = – β ₂·ε_Т (6.37)

Ŷ_Т(h) = 0 при h ≥ 3,

6.4.3. Arma-процессы

Формулы прогнозирования для процессов ARMA(p,q) получаются объединением формул (6.32) и (6.35).

Для модели ARMA (1,1)

Y_t = α₀ + α₁Y_t-1 – β₁ ·ε_t-1

формулы для прогнозирования имеют вид:

Ŷ_Т(+1) = α₀ + α₁Y_Т - β₁ ·ε_T

Ŷ_Т(+h) = α₀ + α₁Ŷ_Т(+h-1) при h ≥ 2. (6.38)

При прогнозировании на практике реальные параметры ARMA-процесса заменяются их оценками , а случайные воздействия ε_t заменяются на остатки , полученные при оценивании модели, или на ошибки e_T+h-–i предыдущих прогнозов.

Отметим, что ошибка прогноза данных ARMA-моделей ограничена на беско­нечности дисперсией процесса σ_х.

6.5. Нестационарные интегрируемые процессы

6.5.1. Нестационарные стохастические процессы. Нестационарные временные ряды

Признаком нестационарного стохастического процесса является нарушение одного из условий стационарности (6.4). Конкретная реализация нестационарного стохастического процесса представляет собой нестационарный временной ряд. Признаками нестационарности временного ряда могут служить наличие тенденции, систематических изменений дисперсии, периодической составляющей, систематически изменяющихся взаимозависимостей между элементами временного ряда.

Заметим, что, как правило, значения, характеризующие изменение экономических показателей во времени, образуют нестационарные временные ряды.

Рассмотрим авторегрессионный процесс первого порядка, определяемый моделью

Y_t = α₀ + α₁·Y_t–1 + ε_t, (6.39)

где ε_t – процесс типа «белый шум» с μ_ε = 0. При | α₁| < 1 случайный процесс Y_t будет стационарным. Процесс, определяемый соотношением (6.39) при α₁ = 1

Y_t = Y_t–1 + ε_t. (6.40)

является нестационарным и называется «случайным блужданием». Такие нестационарные процессы называют процессами единичного корня.

Среднее процесса Y_t постоянно E(Y_t) = Е(Y_t–1)+ E(ε_t) = μ = const, а дисперсия var(Y_t) = tσ² неограниченно возрастает с течением времени. Первые разности Y_t являются «белым шумом» ε_t и стационарны:

∆Y _t = Y _t – Y _t–1 = ε_t.

Как показывает практика, рассматриваемые в эконометрических исследованиях нестационарные временные ряды чаще всего относятся именно к этому типу и проблема выявления нестационарности временного ряда сводится к проверке α₁ = 1 в модели (6.39). Соответствующие тесты называются «тестами единичного корня».