6.2.2. Модели скользящего среднего (ma)
В моделях скользящего среднего порядка среднее текущее значение стационарного стохастического процесса представляется в виде линейной комбинации текущего и прошедших значений ошибки εt, εt-1, …, εt-p, обладающей свойствами «белого шума».
Процессом скользящего среднего порядка q (обозначается МА(q)) называется стохастический процесс Xt, определяемый соотношением
Xt = εt – β1εt-1 – β2εt-2 –…– βqεt-q, (6.23)
где εt – процесс типа «белый шум» с με = 0, σ2ε = σ2.
Процесс MA(q) обладает следующими свойствами:
(6.24)
Согласно (6.24) среднее значение, дисперсия и ковариация не зависят от времени, поэтому процесс MA стационарен в широком смысле.
6.2.3. Модели авторегрессии-скользящего среднего (arma)
Комбинация процессов авторегрессии и скользящего среднего порядков р и q соответственно называется авторегрессионным процессом скользящего среднего (ARMA(p,q))
Xt = α0 + α1Xt-1+ α2Xt-2 +…+ αpXt-p + εt – β1εt-1– β2εt-2 –…– β qεt-q, (6.25)
При очень общих условиях стационарный ARMA-процесс может быть представлен как бесконечный AR-процесс или как бесконечный MA-процесс:
Xt = α0 + εt – β1εt-1– β2εt-2 –…
Использование ARMA-процессов позволяет строить более компактные модели реальных временных рядов по сравнению со схожими по поведению AR- или MA-процессами.
6.3. Автокорреляционные функции
6.3.1. Автокорреляционная функция
Автокорреляционная функция (ACF) процесса Xt, определяющая зависимость коэффициентов автокорреляции ρτ от величины лага τ, определяется с помощью соотношения (см. (6.3))
. (6.26)
График ρτ называется коррелограммой.
Для идентификации модели стационарного временного ряда, т. е. для определения типа и порядка процесса могут быть использованы следующие свойства автокорреляционной функции:
а) Для процесса AR(p) коррелограмма представляет собой смесь экспоненциальной кривой и синусоиды.
б) Для процесса MA(q) только первые q автокорреляционных коэффициентов значимо отличны от нуля.
В качестве примера рассмотрим автокорреляционные функции процессов AR(1) и MA(1).
Для процесса AR(1) без свободного члена и с α1 <1
Xt = α1Xt-1 + εt (6.27)
автокорреляционная функция определяется соотношениями ρ1 = α1, и ρk= α1k (рис. 6.1, а, б).
Для процесса MA(1)
Xt = εt – β1 ·εt-1 (6.28)
автокорреляционная
функция определяется соотношениями
,
ρ2=
0, ρ3
= 0, … (рис. 6.2,
а, б).
Рис. 6.1 Кореллограмма процесса AR(1)
а) α1 > 0; б) α1 < 0
Рис. 6.2 Кореллограмма процесса MA(1)
а) β1 < 0; б) β 1 > 0
6.3.2. Частная автокорреляционная функция
Важную информацию о структуре модели стационарного стохастического процесса можно получить, используя частную автокорреляционную функцию.
Рассмотрим аппроксимацию AR(k) стационарного стохастического процесса Xt
X(k)t = α0k + α1kX(k)t-1+ α2kX(k)t-2 +…+ αkkX(k)t-k. (6.29)
Коэффициент αkk называется коэффициентом частной автокорреляции Xt для величины лага k.
Ряд значений ррагt(k) = αkk , соответствующих различным k, называется частной автокореляционной функцией (PACF).
Графики автокорреляционных функций процессов AR(1) и MA(1) показаны на рис. 6.3 и 6.4.
Для процесса AR(p) значения частной автокореляционной функции ρрагt(τ) равны нулю для величины лага τ>р.
Рис. 6.3 Частная автокорреляционная функция процесса AR(1)
а) α1 > 0; б) α1 < 0
Рис. 6.4 Частная автокорреляционная функция процесса MA(1)
а) β1 < 0; б) β 1 > 0
Для процессов MA(q) значения частной автокореляционной функции экспоненциально убывают с величиной лага q.
В качестве значения частной автокореляционной функции ρрагt(k) при заданной величине лага k может быть использована оценка коэффициента άkk модели AR(k) (6.29), полученная с помощью МНК-оценивания.