6.1.2. Параметрические тесты стационарности

Параметрические тесты применяются при относительно строгих предположениях относительно законов распределения временного ряда, его параметров. Они, как правило, оценивают меру близости между эмпирическими характеристиками распределения временного ряда и их теоретическими аналогами, на основании чего дела­ется вывод о целесообразности принятия или отвержения гипотезы о соответствии свойств рассматриваемого ряда стационарному про­цессу.

Для проверки гипотез о постоянстве математического ожидания и дисперсии на рассматриваемом интервале t=1, 2, ..., n могут быть использованы критерии Стьюдента и Фишера. Эти критерии применяются в предположении о нормальном законе распределения как значений вре­менного ряда, так и его выборочных параметров, что является достаточно спра­ведливым для многих реальных процессов.

Тестирование математического ожидания. Интервал времени (1,n) (и, соответственно, временной ряд у_t, t=1, 2, ..., n) разбивается на две части, не обязательно одинаковые по количеству содержащихся в них значений у_t с количеством наблюдений n₁ (n=1,2,..., n₁) и n₂ (n=n₁+1,...,n), n₂ =n–n₁.

Для каждой из частей определяются оценки и s₁², и s₂² – выборочных математического ожидания и дисперсии переменной у_t соответст­венно. Далее рассчитывается значение критерия Стьюдента по формуле

(6.7)

если предполагается, что значения дисперсий на этих участках не равны между собой, т. е. σ²_{1 ≠} σ²₂, и по формуле

(6.8)

если σ²₁ = σ²₂ = σ².

Если оказывается справедливым неравенство

(6.9)

где α – заданный уровень значимости (α=0,05; 0,01); k = n₁+n₂–2 – число степеней свободы; – критическое значение критерия Стьюдента, соответствующее значениям α и k, то нулевая гипотеза о постоянстве математического ожидания процесса у_t при­нимается. Вероятность ошибки такого решения при этом составляет α. В противном случае, эта гипотеза отвергается.

Можно интервал наблюде­ний разделить на несколько частей и проверять гипотезу о равенстве оценок средних значений ряда, рассчитанных на этих частях. Для этих целей используется критерий Фишера. Его расчетное значение в данном тесте определяется как отношение взвешенной суммы квадратов отклонений этих оценок от средней временного ряда в целом к средней дисперсии временного ряда:

(6.10)

где k – число частей разбиения интервала (1,n); n_j – число измерений пе­ременной на j-й части (j=1, 2, ..., k); – среднее значение временного ря­да в целом; – средняя дисперсия, значение которой рассчитывается на основании следующей формулы

,

где – дисперсия, рассчитанная на j-й части интервала (1,n).

Если оказывается справедливым соотношение

F<F(α, ν₁, ν₂), (6.11)

где F(α, ν₁, ν₂) – табличное значение критерия Фишера для уровня значимости α и при числе степеней свободы ν₁ = k–1, ν₂ = n₁+n₂+…+n_k–k, то гипотеза о постоянстве математического ожидания временного ряда на всем интервале (1,n) принимается с вероятностью 1– α. В противном случае она отвергается.

Тестирование дисперсии. Проверка гипотезы о постоянстве дисперсии временного ряда у_t, t = 1, 2, ..., n в случае разбиения исходного интервала на две части обычно осуществляется с использованием двухстороннего критерия Фишера. Обязательным условием при этом также является нормальный закон рас­пределения значений у_n.

Расчетное значение критерия Фишера определяется по следующей формуле:

(6.12)

где s₁² и s₂² – оценки дисперсии ряда на первой и второй частях соответственно с числом измерений n₁ и n₂.

Если для заданного уровня доверительной значимости α оказывается, что значение F удовлетворяет неравенству

F(α/2, ν₁, ν₂) ≤ F ≤ F(1–α/2, ν₁, ν₂), (6.13)

то гипотеза о постоянстве дисперсии временного ряда может быть приня­та, т. е. предположение о том, что s₁² = s₂² = σ² является обоснованным с ве­роятностью 1– α.

В выражении (6.13) значения F(α/2, ν₁, ν₂) и F(1-α/2, ν₁, ν₂) являются табличными (левосторонним и правосторонним) значениями крите­рия Фишера, соответствующими вероятности ошибки α/2 с числом степеней свободы ν₁ = n₁–1 и ν₂ = n₂–1 Заметим, что эти значения удовлетворяют соотношению

F(α/2, ν₁, ν₂) = 1/ F(1–α/2, ν₁, ν₂). (6.14)

Поэтому на практике обычно проверяют только соотноше­ние

F ≤ F(1-α/2, ν₁, ν₂), (6.15)

при условии, что s₁ > s₂.