6. Линейные модели стохастических процессов

6.1. Стационарные стохастические процессы

6.1.1. Основные понятия

Уровни временного ряда х₁, х₂, ..., х_n при наличии случайной составляющей могут рассматриваться как конкретные значения случайных величин X₁, Х₂,..., Х_n, соответствующих моментам времени t₁, t₂, ..., t_n, т. е. как отдельная реализация дискретного стохастического процесса.

Cтохастическим процессом называется случайная функция X(t) вещественного аргумента t, принадлежащего некоторому подмножеству Ť множества действительных чисел. Иными словами, если каждому значению аргумента t Ť поставлена в соответствие случайная величина X_t = X(t), то совокупность случайных величин {X_t}представляет собой стохастический процесс.

Если множество определения Ť случайной функции X(t) дискретно, т. е. Ť = {t₁, t₂, t₃, …), то стохастический процесс называется дискретным.

Дискретный стохастический процесс представляет собой последовательность случайных величин X_t, соответствующих моментам времени t₁, t₂, t₃, … .

Характеристики случайного процесса X(t) в общем случае являются функциями от времени t:

математическое ожидание

μ_t = E[X_t] = μ(t); (6.1)

дисперсия

σ²_t = D[X_t] = E[(X_t - μ_t)²] = σ²(t), (6.2)

а автоковариация

(6.3)

зависит от t₁ и t₂ .

Стохастический процесс называется стационарным процессом в узком (сильном) смысле, если совместное распределение вероятностей случайных величин такое же, как и у случайных величин при любых n, t и τ.

Стохастический процесс называется стационарным процессом в широком (слабом) смысле, если математическое ожидание μ_t и дисперсия σ²_t не зависят от времени (одинаковы для всех X_t), а автоковариация зависит только от величины лага τ = t₂–t₁, т. е.

μ_t = μ =const;

σ²_t = σ² = const; (6.4)

.

Процесс называется нормальным, если совместное распределение случайных величин X, , X_t,..., X_t является n-мерным нормальным распределением.

«Белым шумом» называется последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин a_t. Из определения «белого шума» следует, что

μ_t = const = μ; D_t = σ²_t = const = σ²; , если t₁ ≠ t₂ . (6.5)

«Белый шум» является стационарным стохастическим процессом и играет важную роль при моделировании остатков стохастического процесса в уравнениях регрессии.

Зависимость автоковариации γ_τ = γ(τ) от длины лага τ называется автоковариационной функцией. При τ = 0 ее значение равно дисперсии, т. е. γ₀ = γ(τ) = σ².

Отношение автоковариации γ_τ = γ(τ) к дисперсии σ² = γ₀ называется автокорреляционной функций стационарного стохастического процесса:

(6.6)

причем .

Стационарному стохастическому процессу Х_t соответствует стационарный временной ряд x_l, х₂, ..., х_n.

Признаками стационарности временного ряда являются отсутствие тенденции и периодической составляющей, а также систематических изменений размаха колебаний и систематически изменяющихся взаимозависимостей между элементами временного ряда.

Для распознавания стационарности временных рядов могут использоваться следующие подходы:

• визуальный анализ графического представления временного ряда на наличие тенденции и периодической составляющей, на постоянство дисперсии и т. п.;

• анализ временного ряда на наличие автокорреляции;

• тесты на присутствие детерминистического тренда;

• тесты на постоянство статистических характеристик;

• тесты на наличие стохастического тренда, например, тесты на единичный корень.