5.7. Исследование взаимосвязи двух временных рядов

Модели, построенные на основе данных, характеризующих какой-либо объект за ряд последова­тельных моментов (периодов) времени, называются моделями временных рядов. Исследование взаимосвязи между переменными, заданными при помощи временных рядов имеет существенные особенности.

Наличие в составе временных рядов тенденций и периодических компонент может при применении обычных методов корреляционного или регрессионного анализа привести к явлениям «ложной корреляции» или «ложной регрессии». В этом случае абсо­лютная величина коэффициента корреляции между переменными х и у, абсолютно не влияющими друг на друга, имеет высокое значение вследствие зависимости каждой из них от времени, либо коэффициент детерминации свидетельствует о высоком качестве полученной между ними регрессии. Чтобы избежать этого, перед изучением взаимосвязи между переменными х и у необходимо предварительно исключить из уровней временных рядов влияние тенденции и периодической компоненты.

Устранение периодической компоненты из уровней временного ряда можно проводить в соответствии с методикой параграфа 5.4.

Для исклю­чения тенденции применяются такие методы, как метод последовательных разностей, метод отклонений от тренда, метод явного включения в модель регрессии по временным рядам фактора времени.

Метод отклонений от тренда. Рассмотрим два временных ряда х_t и у_t, каждый из которых содержит трендовую компоненту Т и случайную компоненту . Предположим, что проведено аналитическое выравнивание этих рядов и найдены параметры соответствующих уравнений тенденций = f₁(t) и = f₂(t). Вычитание расчетных значений уровней ряда и из фактических х_t и у_t позволяет устранить влияние тенденции в обоих рядах. Дальнейший анализ взаимосвязи ря­дов проводят с использованием отклоне­ний от тренда ( ) и ( ), т. е. уравнение регрессии строится в виде

(5.53)

_{Метод последовательных разностей. Если времен­ной ряд содержит ярко выраженную полиномиальную тенденцию (имеющую вид полинома от времени t), то с целью} устранения тенденции можно применить метод последовательных разностей, заключающийся в замене исходных уровней ряда последовательными разностями соответствующих порядков (порядок разности равен порядку полинома).

Последовательными разностями первого порядка называются величины

y_t = у_t – у_t–1.

Последовательными разностями второго порядка называются величины

²y_t = у_t – у_t–1, и т. д.

Замена исходных уровней ряда последовательными разностями первого порядка позволяет устранить линейную тенденцию, задаваемую уравнением у = a + b · t.

Замена исходных уровней ряда последовательными разностями второго порядка позволяет устранить параболическую тенденцию, задаваемую уравнением в виде полинома второго порядка у = a + b · t + c · t², и т. д.

Если тенденция временного ряда характеризуется экспоненциальной зависимостью, то временной ряд из логарифмов исходных уровней будет иметь линейную тенденцию, что позволяет применить метод последовательных разностей к ряду логарифмов.

С использованием первых разностей y_t, x_t уравнение регрессии находится в виде

или у_t – у_t–1 = a + b·( x_t – x_t–1). (5.54)

Включение в модель регрессии фактора времени. Включение фактора времени в модель в качестве независимой переменной позволяет зафиксировать тенденцию с целью исключения ее влияния на параметры модели.

Уравнение парной регрессии в этом случае принимает следующий вид

y_t = a + b₁ ·x_t + b₂ ·t + _t. (5.55)

Этот же прием может быть использован, если число факторов больше единицы. Параметры а, b₁, b₂ модели (5.55) с включением вре­мени в качестве фактора определяются обычным МНК.

Па­раметры уравнения регрессии (5.55) могут быть проинтерпретированы следующим образом:

– па­раметр b₁ показывает, насколько в среднем изменится значение результативного признака у_t при увеличении фактора x_t на единицу при неизменной величине других факторов;

– параметр b₂ показывает, насколько в среднем за период наблюдения изменится значение результативного признака у_t за счет воздействия всех факто­ров, кроме фактора x_t.