5.6.3. Использование экспоненциальной средней для кратко­срочного прогнозирования

При использовании экспоненциальной средней для кратко­срочного прогнозирования предполагается, что модель ряда имеет вид

y_t = + e_t, (5.45)

где – варьирующий во времени средний уровень ряда, e_t – случайные неавтокоррелированные отклонения с нулевым матема­тическим ожиданием и дисперсией σ².

Прогнозная модель определяется соотношением

, (5.46)

где ŷ_τ(t) – прогноз, сделанный в момент t на τ единиц времени (шагов) вперед; – оценка .

Величина параметра модели принимается равной экспоненци­альной средней S_t в момент t:

(5.47)

Прогнозирование предполагает следующую последовательность действий:

• на основании исходного временного ряда y₁, y₂, …, y_n вычисление по формуле (5.43) сглаженных уровней ряда S₁, S₂, …, S_n;

• вычисление = S_n;

• осуществление прогноза на τ шагов вперед .

Перегруппиро­вав члены выражение (5.43) можно записать по-другому:

.

Если величину рассматривать как погрешность про­гноза, то новый прогноз S_t получается как результат корректировки предыдущего прогноза с учетом его ошибки. В этом и состоит адапта­ция модели.

Экспоненциальное сглаживание является примером простейшей самообучающейся модели. Вычисления выполняются итеративно, причем вся прошлая информация заключена в единственном значении S_t–1.

5.6.4. Адаптивные полиномиальные модели

Если для прогнозирования временного ряда, имеющего ярко выраженную линейную тенденцию, использовать подход (5.46) опирающийся на модель экспоненциального сглаживания, то модель, как правило, будет давать смещенные прогнозы, т.е. иметь систе­матическую ошибку. Для таких временных рядов целесообразно использовать модели линейного роста, в которых про­цедуре экспоненциального сглаживания подвергаются оценки коэффициентов адаптивной модели.

В этих моделях прогноз может быть получен с помощью следующего выражения:

, (5.48)

где и – текущие оценки коэффициентов; τ – время упреждения прогноза.

Наиболее часто применяются три модели данного типа, отлича­ющиеся рекуррентными выражениями для пересчета текущих оце­нок коэффициентов (параметры адаптации или параметры экспо­ненциального сглаживания 0 < α₁, α₂, α₃, β < 1):

– двухпараметрическая модель Ч. Хольта

(5.49)

– однопараметрическая модель Р. Брауна

(5.50)

– трехпараметрическая модель Дж. Бокса и Г. Дженкинса

(5.51)

Начальные значения коэффициентов и принимаются равными коэффициентам уравнения регрессии, построенного по начальным уровням ряда.

В эконометрических пакетах чаще представлена модель Ч. Хольта с возможностью выбора оптимальных параметров по критерию минимума среднеквадратической ошибки путем перебора на сетке возможных значений. Рекуррентные формулы для оценки коэффи­циентов по этой модели могут быть записаны в виде, явно показывающем зависимость «корректирующего воздействия» от величины ошибки:

(5.52)

где e_t = y_t – ŷ₁(t–1) – ошибка прогноза.

Из последних выражений видно, что модель Р. Брауна можно считать частным случаем моде­ли Ч. Хольта. При этом единственный параметр β играет роль коэф­фициента дисконтирования наблюдений.