5.6. Адаптивные модели прогнозирования

5.6.1. Понятие адаптивных методов прогнозирования

При анализе временных рядов часто более важной бывает текущая тенденция (тенденция в данный момент времени, определяемая несколькими последними наблюдениями), а не тенденция, сложившая на длительном интервале времени. Соответственно, наиболее цен­ной является информация последнего периода. Исходя из этого в последнее время важное значение получили, так называемые, адаптивные методы прогнозирования.

Адаптивными называются методы прогнозирования, позволяющие строить самокорректирующиеся (самонастраивающиеся) экономико-математические модели, которые способны оперативно реаги­ровать на изменение условий путем учета результата прогноза, сделанного на предыдущем шаге, и учета различной информационной ценности уровней ряда.

Особенностями адаптивных методов прогнозирования является:

– способность учитывать информацион­ную ценность уровней временного ряда (с помощью системы весов, придаваемых этим уровням);

– использование рекуррентных процедур уточнения параметров модели по мере поступления новых данных наблюдений и тем самым адаптация модели применительно к новым условиям развития явления.

Скорость (быстроту) реакции модели на изменения в динамике процесса характеризует, так называемый, параметр адаптации. Параметр адаптации должен быть выбран таким образом, чтобы обеспечивалось адекватное отображение тенденции при одновременной фильтрации случайных отклонений. Значение параметра адаптации может быть определено на основе эмпирических данных, выведено аналитическим способом или получено на основе метода проб.

В качестве критерия оптимальности при выборе параметра адаптации обычно принимают минимум среднего квадрата ошибок прогнозирования.

Благодаря указанным свойствам адаптивные методы особенно удачно используются при краткосрочном прогнозиро­вании (при прогнозировании на один или несколько шагов вперед).

Адап­тивные методы, как правило, основаны на использовании процедуры экспоненциаль­ного сглаживания.

5.6.2. Экспоненциальное сглаживание

Для экспоненциального сглаживания временного ряда у_t используется рекур­рентная формула

, (5.43)

где S_t – значение экспоненциальной средней в момент t; у_t – значение временного ряда в момент t; α – параметр сглаживания, α = const, 0< α < l; β = 1 – α .

Совокупность значений S_t образует сглаженный временной ряд.

Соотношение (5.43) позволяет выразить экспоненциальную среднюю S_t через предше­ствующие значения уровней временного ряда у_t. При n → ∞

. (5.44)

Таким образом, величина S_t оказывается взвешенной суммой всех членов ряда. Причем веса отдельных уровней ряда убывают по мере их удаления в прошлое соответственно экспоненциальной функ­ции (в зависимости от «возраста» наблюдений).

Например, при α = 0,4 вес текущего наблюдения у_t будет равен α = 0,4, вес предыдущего уровня у_t–1 будет соответствовать α ·β = 0,4·0,6 = 0,24; для уровня у_t–2 вес составит α ·β² = 0,144; для y_t–3 – α ·β³ = 0,0864 и т. д.

Доказано, что математические ожидания исходного ряда и экспоненциальной средней совпадают. В то же вре­мя дисперсия экспоненциальной средней D(S_t) меньше дисперсии вре­менного ряда σ². Чем меньше α, тем это отличие больше.

Таким образом, с одной стороны, желательно увеличивать вес бо­лее свежих наблюдений, что может быть достигнуто повышением α (согласно (5.43)), с другой стороны, для сглаживания случайных откло­нений величину α нужно уменьшить. Выбор параметра сглажива­ния α с учетом этих двух противоречивых требований составляет задачу оптимизации модели.

В качестве начального значения S₀ используется среднее ариф­метическое значение из всех имеющихся уровней временного ряда или из какой-то их части. Из выражения (5.44) следует, что вес, приписываемый этому значению, уменьшается по экспоненци­альной зависимости по мере удаления от первого уровня. Поэто­му для длинных временных рядов влияние неудачного выбора S₀ погашается.