5.5. Прогнозирование уровней временного ряда на основе кривых роста.

5.5.1. Метод аналитического выравнивания

Построенная модель y(t) = f(t) тенденции (кривая роста) может использоваться для прогнозирования. Кривая роста позволяет получить выровненные или теоретические значения уровней динамического ряда. Это те уровни, которые наблюда­лись бы в случае полного совпадения динамики явления с кривой.

Процедура разработки прогноза с использованием кривых роста включает в себя следующие этапы:

1. на основе качественного анализа выбор одной или нескольких кривых, форма которых соответст­вует характеру изменения временного ряда (п. 5.3);

2. оценка параметров выбранных кривых;

3. оценка точности и проверка адекватности выбранных кривых прогнозируемому процессу и окончательный выбор кривой роста;

4. расчет точечного (по формуле (5.38)) и интервального прогнозов.

Чтобы по имеющемуся временному ряду осуществить прогноз на L шагов вперед, необходимо в построенную модель тенденции (кривую роста) ŷ = f(t) подставить значение аргумента, соответствующее интервалу прогноза

ŷ_n(+L) = f(t_n+L). (5.38)

Полученное значение ŷ_n(+L) называется точечным прогнозом.

Следующим этапом является определение доверительного интервала прогноза, т. е. пределов, в которых лежит точное значение уровня явления с заданной вероятностью (степенью уверенности). Эта процедура называется вычислением интервального прогноза. Интервальный прогноз задает границы возможного изменения прогнозируемого по­казателя.

Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом, по­лученным путем экстраполяции тенденции по кривым роста, может быть вызвано:

1. субъективной ошибочностью выбора вида кривой;

2. погрешностью оценивания параметров кривых;

1. погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблю­дений от тренда, характеризующего некоторый средний уровень ряда на каждый момент времени.

Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, мо­жет быть отражена в виде доверительного интервала прогноза.

До­верительный интервал для линейной тенденции по аналогии с парной регрессией вычисляется по формуле

, (5.39)

где n – длина временного ряда; L – период упреждения; ŷ_n(+L) – точечный прогноз на момент n+L; – значение t-статистики Стьюдента при уровне значимости α и числе степеней свободы n–2; – средняя квадратическая ошибка оценки прогнозируемого показателя

; (5.40)

m – число параметров модели кривой роста (для линейной модели m = 2).

Для линейной модели формулу (5.39) можно записать следующим образом

. (5.41)

До­верительный интервал для кривой роста в виде полинома второго или третьего порядка вычисляется по формуле

, (5.42)

где m – число параметров модели кривой роста. Для полинома второго порядка m = 3, для полинома третьего порядка m = 4.

Ширина доверительного интервала зависит от уровня значимости, периода упреждения, среднего квадратического отклонения временного ряда от тренда и степени полинома (рис. 5.4).

Рис. 5.4. Доверительные интервалы прогноза для линейного тренда

Чем выше степень полинома, тем шире доверительный интер­вал при одном и том же значении S_y, так как дисперсия уравнения тренда вычисляется как взвешенная сумма дисперсий соответствую­щих параметров уравнения.

Доверительные интервалы прогнозов, полученных с использо­ванием уравнения экспоненты, определяют аналогичным образом. От­личие состоит в том, что как при вычислении параметров кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.