5.3.5. Оценка адекватности и точности модели тенденции

После построения модели тенденции осуществляется проверка ее качества по характеристикам адекватности (соответствия данным наблюдения) и точности.

Проверка адекватности модели основывается на анализе ряда остатков

. (i = 1, 2, …, n) (5.21)

Модель считается адекватной, если остатки:

• являются случайными;

• распределены по нормальному закону;

• имеют равное нулю среднее значение = 0;

• независимы между собой.

1) Проверка случайности остатков заключается в установлении факта отсутствия или наличия тенденции остатков. Для этой цели может использоваться критерий серий. Предварительно определяется медиана e_m упорядоченного ряда остатков. Каждому элементу ряда остатков e_t ставится в соответствие знак «+», если e_t > e_m, и знак «–», если e_t < e_m. Непрерывно идущую последовательность одинаковых знаков принято называть серией. Определяется максимальная длина серии L_max и число серий V. Остатки считаются случайными на уровне значимости 0,05, если одновременно выполняются два условия

, 5.22)

. (5.23)

2) Нормальность распределения остатков считается установленной (приближенно) если одновременно выполняются следующие неравенства:

, (5.24)

где А – выборочная характеристика асимметрии, Э – выборочная характеристика эксцесса, δ_a, δ_э – среднеквадратические ошибки выборочных характеристик асим­метрии и эксцес­са, определяемые соотношениями

(5.25)

(5.26)

Если же выполняется хотя бы одно из неравенств

(5.27)

то гипотеза о нормальном характере распределения остатков отвергается. Другие случаи требуют дополнительной проверки с помощью более мощных критериев.

3) Проверка равенства нулю среднего значения ряда остатков = 0 осуществляется с помощью критерия Стьюдента. Гипотеза о равенстве нулю = 0 отвергается, если выполняется условие

, (5.28)

где

.

4) Под независимостью ряда остатков понимается отсутствие в нем автокорреляции, т. е. отсутствует зависимость каждого значения ряда от предыдущих значений. Если вид функции, описывающей систематическую состав­ляющую, выбран неудачно, то последовательные значения ряда остат­ков могут кор­релировать между собой.

Для проверки ряда остатков на отсутствие автокорреляции уровней остатков используется критерий Дарбина-Уотсона. Этот критерий основан на расчете величины

, (5.29)

представляющей собой отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадра­тов по модели регрессии.

Между критерием Дарбина–Уотсона d и коэф­фициентом автокорреляции остатков первого порядка r^e₁ имеет место следую­щее соотношение:

(5.30)

Таким образом, если в остатках существует полная положи­тельная автокорреляция и r^e₁ = 1, то d = 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то r^e₁ = –1 и, следовательно, d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то r^e₁ = 0 и d = 2. Величина d изменяется в диапазоне 0  d  4.

Применение критерия Дарбина-Уотсона для выявления автокорреляции остатков осуществляется в следующей последовательности.

1. Выдвигается нулевая гипотеза Н₀ об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные ги­потезы Н₁ и Н₁* состоят, соответственно, в наличии положитель­ной или отрицательной автокорреляции в остатках.

2. По таблицам критерия Дарбина-Уотсона (см. приложение) определяются критичес­кие значения критерия d_L и d_U для заданного числа наблюдений n, числа факторов модели k и уровня значимости . Этими значениям числовой промежуток [0;4] разбивается на пять отрезков (0, d_L), (d_L, d_U), (d_U, 4-d_U), (4-d_U, 4-d_L), (4-d_L, 4) (рис. 5.3).

3. Выдвинутые гипотезы принимаются или отклоняются с вероятностью (1–) в зависимости от того, в какой отрезок попадет значение критерия d:

(0, d_L) – принимается H₁, остатки имеют положительную корреляцию;

(d_L, d_U) – зона неопределенности

(d_U, 4–d_U) – принимается H₀, автокорреляция остатков отсутствует;

(4–d_U, 4–d_L) – зона неопределенности

(4–d_L, 4) – принимается H*₁, остатки имеют отрицательную корреляцию.

Применение критерия иллюстрирует рис. 5.2.

Есть положительная автокорреляция остатков. h0 отклоняется. С вероятностью Р = (1–) принимается h1	Зона неопределенности	Нет оснований отклонять h0 (автокорреляция остатков отсутствует)	Зона неопреде­ленности	Есть отрицательная автокорреляция остатков. h0 отклоняется. С вероятностью Р = (1-) принимается h1*
0 dL dU 2 4-dU 4-dL 4

Рис. 5.3. Алгоритм проверки гипотезы о наличии автокорреляции остатков

К недостаткам критерия Дарбина-Уотсона относится наличие области неопределенности и то, что осуществляется проверка зависимости между ближайшими уровнями ряда.

Другим методом проверки наличия автокорреляции остатков является тест серий (Бреуша-Годфри), основанный на оценке значимости коэффициентов авторегрессионного уравнения

, (5.31)

полученных методом наименьших квадратов. Наличие значимых коэффициентов говорит об имеющейся автокорреляции остатков и ее характере.

Оценка точности модели тенденции заключается в оценке близости модельных значений тенденции к фактическим уровням ряда и осуществляется с помощью вычисления таких показателей, как:

• дисперсия остатков ;

• средняя ошибка аппроксимации ;

• коэффициент детерминации R².