4.2. Оценка параметров структурной формы модели

Получение оценок параметров приведенной формы модели, как уже отмечалось, затруднений не представляет. Следующим этапом должно быть определение оценок параметров структурной формы модели по оценкам приведенной формы модели с помощью обратного преобразования. Здесь возникает проблема идентифицируемости, заключающаяся в том, что не всегда возможно по приведенным коэффициентам модели однозначно определить ее структурные коэффициенты.

Это связано с тем, что в общем случае структурная и приведенная формы модели содержат разное число параметров п·(п–1) + n·т и n·т. Чтобы уравнять число параметров, необходимо предположить равенство нулю некото­рых структурных коэффициентов модели либо наличие между ними определенных соотношений, например, а₁₁ + b₁₂ = 0.

С позиции идентифицируемости можно выделить три вида структурных моделей:

– идентифицируемые системы, в которых число параметров структурной и приведенной форм модели совпадает, и структурные коэффициенты моде­ли однозначно оцениваются через параметры приведенной формы модели;

– неидентифицируемые системы, в которых число структурных параметров превышает число приведенных, и структурные коэффициенты не могут быть получены из коэффициентов приведенной формы модели;

– сверхидентифицируемые системы с числом приведенных параметров превышающих число структурных. В этом случае возможно неоднозначное определение значений структурных коэффициентов при полученных значениях приведенных коэффициентах.

4.3. Кос­венный метод наименьших квадратов

Наиболее часто для оценки параметров системы одновременных уравнений применяются кос­венный, двухшаговый и трехшаговый методы наименьших квадратов (КМНК, ДМНК и ТМНК). Первый из них используется только в случае идентифицируемых уравнений. Реже применяется универсальный, но очень сложный в вычислительном отношении метод максимального правдоподобия.

Косвенный МНК используется в случае идентифицируемой системы уравнений и заключается в следующем:

1) исходная система уравнений преобразуется в приведенную форму модели и определяются численные значения параметров _ij для каждого ее уравнения в отдельности с помощью традиционного МНК;

2) путем алгебраических преобразований осуществляется переход от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, что автоматически дает численные оценки структурных параметров.

Например, требуется найти структурные параметры модели

(4.18)

при условии, что полученная приведенная форма модели описывается уравнениями

Для нахождения структурных коэффициентов применим косвенный МНК, т. е. получить их с помощью преобразования приведенных уравнений.

Для этого из 2-го уравнения приведенной формы выразим переменную и подставим в 1-е уравнение приведен­ной формы модели

или .

Сравнивая это уравнение с 1-м уравнением структурной формы (4.18) , определим значения структурных параметров

.

Далее из первого уравнения приведенной формы выразим переменную и подставим во 2-е уравнение приведен­ной формы модели

или .

Сравнивая последнее уравнение с 2-м структурной формы (4.16) , получим

.

Таким образом, структурная форма модели определяется уравнениями

(4.19)