3.10. Проверка остатков регрессии на гетероскедастичность

Так как оценки параметров, полученные МНК, являются эффективными только при выполнении предпосылок МНК (п. 3.5), то после вычисления оценок и построения модели следует определить наблюдаемые отклонения и проверить, удовлетворяются ли предпосылки МНК.

Рассмотрим методы, применяемые для проверки выполнения предпосылки о постоянстве дисперсий остатков (их гомоскедастичности).

Тест Гольдфельда–Квандта. Применяется в предположении, что средние квадратические отклонения случайного члена σ_i пропорциональны значениям фактора x_i и случайный член распределен по нормальному закону. Процедура применения теста Гольдфелда– Квандта состоит из следующих шагов:

1) наблюдения упорядочиваются по мере возрастания фактора х_i;

2) выделяются первые n′ и последние n′ наблюдений и исключаются из рассмотрения n–2n′ центральных наблюдений. При этом должно выполняться условие n′ > р, где p – число оцениваемых параметров;

3) по каждой из групп оцениваются уравнения регрессии остатков ε_i по значимым факторам;

4) определяются остаточные суммы квадратов для первой (S₁ = ) и вто­рой (S₂= ) групп и находится их отношение: R = S₂ : S₁ (S₂ > S₁);

5) нулевая гипотеза о гомоскедастичности остатков отвергается, если выполнено условие

(3.59)

где – табличное значение F-критерия Фишера на уровне значимости α при числе степеней свободы (n′– р) и (n′– р).

Авторами метода рекомендовано для случая одного фактора при n=30 принимать n′=11, а при n=60 принимать n′=22.

Тест ранговой корреляции Спирмена проверяет наличие монотонной зависимости между дисперсией ошибки и величиной фактора. Наблюдения (значения фактора x_i и остатки e_i) упорядочиваются по величине фактора x и вычисляется коэффициент ранговой корреляции Спирмена

, (3.57)

где d_i – разность между рангами значений x_i и e_i в i-наблюдении.

Коэффициент ранговой корреляции считается значимым на уровне значимости α при n > 10, если выполняется условие

> t_{1α, n2}, (3.58)

где t_{1α, n2} – табличное значение t-критерия Стьюдента на уровне значимости α и при числе степеней свободы (n–2).

Тест Глейзера. Позволяет не только выявить наличие гетероскедастичности остатков, но и сделать определенные выводы о характере зависимости дисперсии остатков от значений фактора х_i. В тесте проверяется существование функциональной зависимости следующего вида

. (3.60)

По полученным остаткам уравнения регрессии осуществляются регрессии

(3.61)

при различных значениях параметра γ (например, -1; 0,5; 1; 1,5; 2; …) и выбирается зависимость с наиболее значимым коэффициентом β. Если все коэффициенты β не значимы, то нет оснований говорить о гетероскедастичности остатков.

Отобранная зависимость (с наиболее значимым коэффициентом β) используется в ОМНК для получения улучшенных оценок параметров исходной модели.

3.11. Построение регрессионных моделей при наличии автокорреляции остатков

Предположим, что нарушается только предпосылка 3 о независимости значений случайного члена ε_i и ε_j в различных наблюдениях, т. е. Cov(ε_i, ε_j) ≠ 0 (i ≠ j). В этом случае говорят об автокорреляции остатков. Оценки параметров, полученные методом наименьших квадратов, остаются несмещенными, но теряют свою эффективность.

Автокорреляция обычно встречается в регрессионном анализе только при использовании исходных данных в виде временных рядов. Более подробно понятие автокорреляции изложено в 5 разделе, где также приведены методы, позволяющие определить наличие и характер авторреляции во временном ряде. Здесь же мы рассмотрим случай, когда имеет место зависимость только между соседними остатками.

Предположим, что остатки в уравнении линейной регрессии

(3.62)

образуют авторегрессионный процесс первого порядка

. (3.63)

Индекс t соответствует номеру наблюдения.

Для оценки величины ρ может быть использована статистика Дарбина-Уотсона d (см. п. 5.3.5)

ρ = 1 – d/2. (3.64)

Преобразуем уравнение (3.62), чтобы исключить автокорреляцию в остатках. Для этого уравнение (3.62), записанное для момента времени t–1,

умножим на ρ и вычтем из исходного уравнения (3.62)

.

Вводя новые переменные и

(3.65)

и используя обозначение

, (3.66)

приведем исходную модель регрессии (3.62) к линейному уравнению регрессии

(3.67)

со случайными независимыми остатками u_t.

Для оценки параметров преобразованного уравнения (3.67) можно применять обычный МНК. После определения параметров и b параметр а находится из соотношения (3.66).

Изложенная процедура предварительного преобразования переменных с последующим применением МНК к оценке параметров уравнения регрессии в преобразованных переменных является частным случаем обобщенного метода наименьших квадратов.

Если ρ = 1, то данный метод становится методом первых последовательных разностей, так как

.

Если ρ = –1, т. е. в остатках наблюдается полная отрицательная корреляция, то с учетом соотношений

уравнение (3.67) в новых переменных принимает следующий вид

или

.

Данная модель является моделью регрессии по скользящим средним.