3.8. Частные уравнения регрессии. Частная корреляция

Уравнение линейной множественной регрессии характеризует совместное влияние факторов на исследуемую переменную y. Уравнение парной регрессии показывает зависимость между y и x_i при игнорировании остальных факторов. Коэффициент bⁱ наряду с влиянием фактора x_i частично отражает влияние и остальных факторов.

Частные уравнения регрессии, характеризующие изолированное влияние одного из факторов х_i на результативную переменную y при исключении влияния остальных факторов, включенных в уравнение регрессии, получаются из общего уравнения линейной множественной регрессии (3.6) при закреплении всех факторов кроме х_i на их сред­нем уровне:

,

(i = 1, 2, …, p)

или

, (i = 1, 2, …, p) (3.36)

где и .

Коэффициент b_i частного уравнения регрессии (3.36) в отличие от коэффициента bⁱ парного уравнения не содержит влияния остальных факторов множественного уравнения регрессии.

На осно­ве частных уравнений регрессии (3.36) определяют частные коэффици­енты эластичности

, (i = 1, 2, …, p) (3.37)

где b_i – коэффициенты регрессии для фактора х_i в урав­нении множественной регрессии; – значение результативного фактора, полученное из частного уравнения регрессии при данном значении фактора х_i,

Средние частные коэффициенты эластичности

. (i = 1,2, …,p) (3.38)

показывают, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от сво­ей величины при изменении фактора х на 1 % от своего значения при неизменных значениях других факторов, и могут использоваться для выделения факторов, наиболее влияющих на результат.

Если факторы находятся в корреляционной связи, то это влияет на способность коэффициента парной корреляции изолированно выявить степень тесноты связи между переменными у и х_i. В такой ситуации следует использовать частные коэффициенты корреляции , характеризующие тесноту связи между переменными у и х_i при исключении влияния остальных p – 1 фактора (при фиксированных значениях остальных факторов), определяемые соотношениями

, (i = 1, 2, …, p) (3.39)

где q_yi, q_yy и q_ii  алгебраические дополнения соответственно к элементам , и матрицы

. (3.40)

Значимость частных коэффициентов корреляции проверяется также, как и значимость парного коэффициента корреляции (2.37), (2.38) с заменой числа наблюдений n на n′ = n – p + 1, т. е. статистика

(3.41)

имеет t-распределение Стьюдента с n–p–1 степенями свободы. Если t > t_{1–α;n–p–1}, то коэффициент считается значимым.

В случае только двух факторов х₁ и х₂ формула (3.39) принимает вид

. (3.42)

Существенность влияния корреляционной связи проанализируем на примере. Рассмотрим переменную у и два фактора х₁ и х₂, находящиеся в корреляционной связи, и предположим, что парные коэффициенты корреляции имеют следующие значения = 0,54, = 0,1, = 0,6. Вычисления по формуле (3.42) дают

Значения коэффициентов и близки между собой, а значения коэффициентов и отличаются по величине более, чем в три раза и имеют разные знаки.

Частные коэффициенты корреляции позволяют ранжировать факторы по степени влияния на результативный признак и находят применение в процедуре отбора факторов для включения их в уравнение регрессии (учитываются только факторы, которым соответствуют значимые коэффициенты частной корреляции).