2.9. Точечный и интервальный прогноз по уравнению линейной регрессии

Точечный прогноз заключается в получении прогнозного значения у_p, которое определяется путем подстановки в урав­нение регрессии соответствующего (прогнозного) зна­чения x_p

у_p = a + b  x_p.

Интервальный прогноз заключается в построении доверительного интервала прогноза, т. е. нижней и верхней границ у_pmin , у_pmax интервала, содержащего точную величину для прогнозного значения y_p ( ) с заданной вероятностью.

При построении доверительного интервала прогноза используется стандартная ошибка прогноза , связанная с дисперсией ошибки прогноза соотношением .

Дисперсия ошибки прогноза представляет собой сумму дисперсии ошибки прогноза расчетного значения и остаточной дисперсии s²_ост (2.34)

= + s²_ост. (2.43)

Величина дисперсии находится из соотношения

и составляет

. (2.44)

Соответственно стандартные ошибки прогноза расчетного значения по уравнению регрессии и индивидуального значения прогноза и определяются соотношениями

, (2.45)

. (2.46)

Доверительные интервалы прогноза определяются соотношениями:

для расчетного значения по уравнению регрессии ŷ_p

, (2.47)

для индивидуального значения прогноза у_p

, (2.48)

где величина t_1α,n-2 представляет собой табличное значение t-критерия Стьюдента на уровне значимости α при числе степеней свободы n–2.

2.10. Коэффициент эластичности

В экономических исследованиях широкое применение находит такой показатель, как коэффициент эластичности. Если зависимость между переменными x и y имеет вид , то коэффициент эластичности (Э) вычисляется по формуле

(2.49)

Коэффициент эластичности Э показывает, на сколько процентов в среднем изменится результативный признак у при изменении фактора х на 1 % от своего номинального значения. Для линейной регрессии коэффициент эластичности равен

.

Коэффициент эластичности Э в общем случае зависит от величины x и является величиной переменной. Чтобы исключить эту зависимость применяется средний коэффициент эластичности

, (2.50)

который уже является величиной постоянной.

Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности значений фактора х изменится результативный признак у при изменении фактора х на 1 %.

Для степенной регрессии коэффициент эластичности равен b и является величиной постоянной. Отсюда следует интерпретация параметра b в уравнении степенной регрессии: параметр b показывает, на сколько процентов изменится результативный признак у при изменении фактора х на 1 %.

Контрольные вопросы

1. Что понимается под регрессией в теории вероятностей и математической статистике?

2. Какие задачи решаются при построении уравнения регрессии?

3. Какие методы применяются для выбора вида модели регрессии?

4. Какие функции чаще всего ис­пользуются для построения уравнения парной регрессии?

5. Какой вид имеет система нормальных уравнений метода наименьших квадратов?

6. Как осуществляется оценка парамет­ров нелинейных моделей?

7. Назовите условия Гаусса-Маркова. Чему посвящена теорема Гаусса-Маркова?

8. Что при проверке статистических гипотез называют уровнем значимости?

9. Как проверяется значимость уравнения регрессии?

10. Как проверяется значимость коэффициентов уравнения регрессии?

11. Как вычисляется коэффициент детерминации R²?

12. По какой формуле вычисляется выборочный коэффи­циент парной корреляции ?

13. Как проверяется значимость выборочного коэффи­циента парной корреляции?

14. Как строится доверительный интервал для линейного коэффициента парной корреляции?

15. Как вычисляется и что показывает индекс детерминации?

16. Как осуществляется построение доверительного интервала прогноза в случае линейной регрессии?

17. Как вычисляется и как интерпретируется коэффициент эластичности Э?