История использования текстовых задач в России
С древнейших времен люди сталкивались с необходимостью решения различных практических задач. Приходилось отыскивать способы их решения. Таким образом, текстовые задачи изначально были «движущей силой» развития математики.
Математические знания были связаны с практическими нуждами людей: летоисчислением, вычислением поголовья и стоимости скота, определением прибыли от урожая и т.д. Древнейшая русская математическая рукопись, сохранившаяся до наших дней, датируется 1136 годом. Автором этой рукописи был новгородский дьякон и «чистолюбец» Кирик. Записки содержат задачи на суммирование прогрессий, связанные с приплодом коров и овец, исчисление количества месяцев, недель и дней, прошедших со дня отворения мира, вычисление размеров Солнца и Луны по астрономическим данным. Измерение земель, военное дело, развивающиеся торговые отношения – все требует прикладных математических знаний.
В XVI – XVII веках в России начинает появляться и распространяться рукописная математическая литература. В основном она предназначалась для купцов, ремесленников, землемеров и носила сугубо практический характер. Материалы в этих математических трудах распределялись по статьям, содержащим указания, как надо поступать при решении тех или иных задач. Правила пояснялись различными примерами и задачами.
Рукописи XVI – XVII веков послужили основой для создания учебной литературы XVIII века. Многие задачи перешли в учебники по арифметике и алгебре в XVIII век из старых рукописей, некоторые задачи сохранились до наших дней.
Проводимые Петром I реформы государственной, общественной и культурной жизни страны затронули и образование. Для вновь созданных учебных заведений нужны были учебники. В 1703 году был создан учебник математики, автором которого был замечательный педагог-математик Леонтий Филиппович Магницкий, а назывался он «Арифметика, сиречь наука числительная…», прослужившая в качестве школьного учебника почти до середины XVIII века. Задачи, так или иначе, сопровождают человека на протяжении всей его жизни. Целый пласт фольклорного наследия русского народа – это загадки. Но что такое загадка? Это задача в стихах, решение которой требует внимания, сообразительности, логики, а иногда и чисто математических знаний.
Текстовые задачи постоянно привлекают внимание математиков, педагогов и психологов. Теорией задачи в России занимались такие исследователи как В.И. Крупич,
Л.М. Фридман и др. В настоящее время задаче уделяется большое внимание как основному средству обучения, как средству контроля знаний, умений и навыков учащихся, как средству гуманизации и гуманитаризации образования.
В традиционном школьном обучении математике текстовые задачи всегда занимали особое место. С одной стороны, практика применения текстовых задач в процессе обучения во всех цивилизованных государствах идет от глиняных табличек Древнего Вавилона и других древних письменных источников, то есть имеет родственные корни. С другой - пристальное внимание обучающихся к текстовым задачам - почти исключительно российский феномен.
Известно, что исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями. Первоначально обучение математике велось по образцам. Ученики, подражая учителю, решали задачи на определенное "правило".
В давние времена обученным считался тот, кто умел решать задачи определенных типов, встречавшихся на практике. При этом учащие мало заботились о сознательном усвоении учениками того или иного способа действия. Считалось, что понимать едва ли нужно было.
Причина повышенного внимания к использованию текстовых задач в России заключается в том, что в России не только переняли и развили старинный способ передачи с помощью текстовых задач математических знаний и приемов рассуждений, но и научились формировать с помощью задач важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, поиском условий, из которых можно получить ответ на главный вопрос, проверкой полученного результата. Немаловажную роль играло также приучение школьников к переводу текста на язык арифметических действий, уравнений, неравенств, графических образов. Использование арифметических способов решения задач способствовало общему развитию учащихся, развитию не только логического, но и образного мышления, лучшему освоению естественного языка, а это повышало эффективность обучения математике и смежных дисциплин. Именно поэтому текстовые задачи играли столь важную роль в процессе обучения в России и им отводилось так много времени при обучении математике в школе.
К середине XX в. в СССР сложилась развитая типология задач, включавшая задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу и пр. Методика обучения решению задач была разработана достаточно хорошо, но ее реализация на практике не была свободна от недостатков. Критики этой методики обоснованно отмечали, что учителя, стремясь ускорить процесс обучения, разучивали с учащимися способы решения типовых задач, как бы следуя своим давним предшественникам.
К середине 50-х годов XX в. текстовые задачи были хорошо систематизированы, методика их применения в учебном процессе разработана, но при проведении реформы математического образования конца 60-х годов отношение к ним изменилось. Одним из аргументов к предлагаемым изменениям была критика негодной практики обучения решению задач. Соавторы Н.Я. Виленкина (по первому варианту ныне действующих учебников) К.И. Нешков и А.Д. Семушин, критикуя практику обучения решению задач до введения их учебника, совершенно справедливо задавались вопросом: "Разве возможно проявление хотя бы незначительных элементов сообразительности при решении задач по заученной схеме?". ответ напрашивается сам собой: "Невозможно!".
Пересматривая роль и место арифметики в системе школьных предметов, стремясь повысить научность изложения математики за счет более раннего введения уравнений и функций, математики и методисты-математики посчитали, что на обучение арифметическим способам решения задач тратиться слишком много времени.
Так или иначе, но в середине XX в. в СССР присутствовал узко практический подход к использованию текстовых задач. Тогда считалось, что обучать детей нужно с учетом возможностей применения изученных способов действий на практике или в дальнейшем обучении.
Традиционные для российской школы арифметические способы решения задач посчитали анахронизмом и перешли к раннему использованию уравнений.
Такое упрощенное понимание роли и места задач в школьной математике преобладало долгие годы. У этого подхода и теперь много сторонников - у нас в России и за рубежом.
Заканчивая разговор об использовании текстовых задач при обучении математике в России, о разных подходах к обучению решению задач в прошлых реформах математического образования в России (тогда СССР), сошлемся на академика В.И. Арнольда, который, сравнивая традиционное отечественное преподавание математики с американским, писал: "Наше традиционное отечественное преподавание математики имело более высокий уровень и базировалось на культуре арифметических задач. Еще два десятка лет в семьях сохранились старинные "купеческие" задачи. Теперь это утрачено. Алгебраизация последней реформы преподавания математики превращает школьников в автоматы. А именно арифметический подход демонстрирует содержательность математики, которой мы учим"
Текстовая задача – описание некоторой ситуации на естественном языке, с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами и определить вид этого отношения. Любая текстовая задача состоит из двух частей – условия и требования (вопроса). В условии соблюдаются сведения об объектах и некоторые числовые данные объекта, об известных и неизвестных значениях между ними. Требования задачи – это указание того, что нужно найти. Оно выражено предложением в повелительной или вопросительной форме. В теории выделяются 6 видов работ над текстовой задачей.
Составление условия к данному вопросу. Учитель предлагает составить условие к вопросу: «сколько карандашей в двух коробках?» Рассуждения: «Чтобы узнать, сколько карандашей в двух коробках, надо знать, сколько карандашей в первой коробке и сколько во второй». В качестве наглядности можно взять одну коробку, на которой будет написано число «2». Можно подкрепить наглядность действиями – взять все карандаши из первой коробки и присоединить к ним карандаши второй коробки, исключая возможность их пересчитывания. Выполненное действие ученики записывают математическими знаками, т.е. решают задачу и отвечают на поставленный вопрос.
Постановка вопроса к данному условию. «На одной полке 5 книг, а на другой – на 2 книги больше», какой вопрос можно поставить к данному условию, чтобы получить задачу? Выяснить: что значит на 2 книги больше; на какой полке книг больше и почему; как узнать число книг на второй полке. Этот вид задач формирует умение анализировать данные условия задачи.
Решение задач с лишними данными. «На дереве сидело 8 птичек. Сначала улетели 3 птички, а потом еще 2 прилетели. Сколько птичек улетело?». Такие задачи сталкивают учащихся с реальной ситуацией, требуют внимательного отношения к анализу текста задачи.
Использование задач с недостающими данными. «У Тани 4 тетради. Сколько тетрадей у Тани и Веры?». Здесь требуется проведения определенного анализа задачи: данных известных и неизвестных; что еще необходимо знать, чтобы ответить на вопрос задачи.
Составление задач, обратных данной. «Летние каникулы продолжались 92 дня. Из них 30 дней Володя провел в городе, а остальные дни в деревне. Сколько дней Володя провел в деревне?». После анализа задачи и её решения учащиеся составляют задачу, обратную данной. «Летние каникулы продолжались 92 дня. Несколько дней Володя провел в городе, а 62 дня – в деревне. Сколько дней Володя провел в городе?» или «30 дней летних каникул Володя провел в городе, а 62 дня – в деревне. Сколько дней продолжались летние каникулы?». Эта работа проводится для проверки правильности решения задачи.
Решение нестандартных задач (логических, комбинаторных, на смекалку). «Каждая из девочек – Саша и Маша - пошла в кино со своей мамой. Сколько человек пошли в кино?». Ответа может быть два: трое или четверо. Если девочки сестры, то мама у них одна и в кино пойдут 3 человека. А если девочки подруги, то в кино пойдут 4 человека. При решении таких задач развивается логическое мышление, наблюдательность, опора на связь с жизненной ситуацией.
Решение текстовой задачи
Перед решением задачи возможно использовать следующие формы ее записи:
– краткую запись с использованием общепринятых условных обозначений (вот аргумент в ее защиту: требует внимательного чтения текста задачи, "дисциплинирует" числа, позволяет установить взаимосвязь между величинами); – графическое моделирование задачи; – таблицу; – схематическое моделирование; – рисунок; – предметное моделирование.
Задача 1.
За 3 дня в парке посадили 30 деревьев. В первый день посадили 15 деревьев, во второй – 7 деревьев. Сколько деревьев посадили в третий день?
Выполнение работы:
I способ:
1) 30 – 15 = 15 (д.) – посадили деревьев во второй и третий дни. 2) 15 – 7 = 8 (д.) – посадили деревьев в третий день.
II способ:
1) 30 – 7 = 23 (д.) – посадили деревьев в первый и третий дни. 2) 23 – 15 = 8 (д.) – посадили деревьев в третий день.
III способ:
1) 15 + 7 = 22 (д.) – посадили деревьев в первые два дня. 2) 30 – 22 = 8 (д.) – посадили деревьев в третий день.
При выполнении решений задач разными способами записи оформляем по-разному:
– решение по вопросам; – решение с пояснением (эти две формы используются при решении редко встречающихся или совершенно новых видах задач, чтобы развивать речь учащихся, помогать в приобретении умения кратко и точно формулировать свои мысли); – выражением (этот вариант оформления способствует обобщению); – возможно использование самой обобщенной записи.
Например: (а + в) – с;
– уравнением.
Задача 2 (из "Арифметики" Л.Н. Толстого).
У одного хозяина 23 овцы, а у другого на 7 больше. Сколько у них овец вместе?
I способ:
1) 23 + 7 = 30 (ов.) – столько овец у второго хозяина. 2) 23 + 30 = 53 (ов.) – столько овец у двух хозяев.
II способ:
1) 23 + 23 = 46 (ов.) – столько овец было бы у двух хозяев, если бы у второго было столько же овец, сколько у первого. 2) 46 + 7 = 53 (ов.) – столько овец было у двух хозяев в действительности.
III способ:
1) 23 x 2 = 46 (ов.) – столько овец было бы у двух хозяев, если бы у второго было столько же овец, сколько у первого. 2) 46 + 7 = 53 (ов.) – столько овец было у двух хозяев в действительности.
Задача 3 (№ 262 из учебника "Математика, 4-й класс" авторов И.И. Аргинской, Е.И. Ивановской).
Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 600 км, и через 4 ч встретились. Определи скорость каждого автомобиля, если один ехал быстрее другого на 12 км/ч.
Арифметические способы
I способ:
1) 600 : 4 = 150 (км/ч) – скорость сближения. 2) 150 – 12 = 138 (км/ч) – была бы скорость сближения, если бы скорости были равными скорости второго автомобиля. 3) 138 : 2 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля. 4) 69 + 12 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
II способ:
1) 600 : 4 = 150 (км/ч) – скорость сближения. 2) 150 – 12 = 138 (км/ч) – была бы скорость сближения, если бы скорости были равными скорости второго автомобиля. 3) 138 : 2 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля. 4) 150 – 69 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
III способ:
1) 600 : 4 = 150 (км/ч) – скорость сближения. 2) 150 + 12 = 162 (км/ч) – была бы скорость сближения, если бы скорости были равными скорости первого автомобиля. 3) 162 : 2 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля. 4) 81 – 12 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
IV способ:
1) 600 : 4 = 150 (км/ч) – скорость сближения. 2) 150 + 12 = 162 (км/ч) – была бы скорость сближения, если бы скорости были равными скорости первого автомобиля. 3) 162 : 2 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля. 4) 150 – 81 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
V способ:
1) 12 x 4 = 48 (км) – на столько больше путь первого автомобиля. 2) 600 – 48 = 552 (км) – проехали бы два автомобиля, если бы скорости были равными скорости второго автомобиля. 3) 552 : 2 = 276 (км) – проехал второй автомобиль. 4) 276 + 48 = 324 (км) – проехал первый автомобиль. 5) 324 : 4 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля. 6) 276 : 4 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
VI способ:
1) 12 x 4 = 48 (км) – на столько больше путь первого автомобиля. 2) 600 + 48 = 648 (км) – проехали бы два автомобиля, если бы скорости были равными скорости первого автомобиля. 3) 648 : 2 = 324 (км) – проехал первый автомобиль. 4) 324 – 48 = 276 (км) – проехал второй автомобиль. 5) 324 : 4 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля. 6) 276 : 4 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
VII способ:
1) 12 x 4 = 48 (км) – на столько больше путь первого автомобиля. 2) 600 – 48 = 552 (км) – проехали бы два автомобиля, если бы скорости были равными скорости второго автомобиля. 3) 552 : 4 = 138 (км/ч) – была бы скорость сближения, если бы скорости были равными. 4) 138 : 2 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля. 5) 69 + 12 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
VIII способ:
1) 12 x 4 = 48 (км) – на столько больше путь первого автомобиля. 2) 600 + 48 = 648 (км) – проехали бы два автомобиля, если бы скорости были равными скорости первого автомобиля. 3) 648 : 4 = 162 (км/ч) – была бы скорость сближения, если бы скорости были равными скорости первого автомобиля. 4) 162 : 2 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля. 5) 81 – 12 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
IX способ:
1) 12 x 4 = 48 (км) – на столько больше путь первого автомобиля. 2) 600 – 48 = 552 (км) – проехали бы два автомобиля, если бы скорости были равными скорости второго автомобиля. 3) 552 : 2 = 276 (км) – проехал второй автомобиль. 4) 276 : 4 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля. 5) 69 + 12 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
X способ:
1) 12 x 4 = 48 (км) – на столько больше путь первого автомобиля. 2) 600 + 48 = 648 (км) – проехали бы два автомобиля, если бы скорости были равными скорости первого автомобиля. 3) 648 : 2 = 324 (км) – проехал первый автомобиль. 4) 324 : 4 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля. 5) 81 – 12 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
XI способ:
1) 600 : 4 = 150 (км/ч) – скорость сближения. 2) 150 : 2 = 75 (км/ч) – средняя скорость автомобилей (была бы скорость каждого автомобиля, если бы скорости были равными). 3) 12 : 2 = 6 (км/ч) – на столько больше скорость первого автомобиля, чем средняя скорость; на столько меньше скорость второго автомобиля, чем средняя скорость. 4) 75 + 6 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля. 5) 75 – 6 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
XII способ:
1) 4 + 4 = 8 (км/ч) – были в пути два автомобиля. 2) 600 : 8 = 75 (км/ч) – средняя скорость автомобилей (была бы скорость каждого автомобиля, если бы скорости были равными). 3) 12 : 2 = 6 (км/ч) – на столько больше скорость первого автомобиля, чем средняя скорость; на столько меньше скорость второго автомобиля, чем средняя скорость. 4) 75 + 6 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля. 5) 75 – 6 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.