§ 5. Підпростір

У будь-якому лінійному просторі V можна виділити таке, підмножина, яке щодо операцій з I / саме є | лінійним простором.

Визначення. Непорожнє підмножина І / с V називається.] Подпространством лінійного простору V \ якщо:

9.  сума будь-яких векторів а; Уіз \ Уя вляется вектором з І ​​/, тобто якщо V

10. твір будь-якого вектора х з IV на скаляр є вектор з л І <тобто якщо де а - число.

Іншими словами, застосування лінійних операцій до векторів підмножини І / не виводить результат з І /,кажуть, що підпростір замкнуто щодо операцій додавання і множення на скаляр. ] Фактично підпростір [/ К є простором, а тому, основні поняття, введені для просторів, переносяться на підпростору. Так базис підпростору IV - Система лінійно

незалежних векторів а _х, а _г, ..., а _я ^ така, що будь-який вектор _а е ц, представимо у вигляді лінійної комбінації •

Созрсм «нкда Гумйііі ^ ьая Аклдеміе

60

. тоді

Лінійне простір, в якому введено скалярний твір, називається евклідовим.

Приклади Ш

1. У тривимірному просторі вільних векторів скалярм добуток двох векторів визначається як добуток їх довжин з косинус кута між ними. Аксіоми 1 - 4 виражають собою основні властивості скалярного твору і доводяться в векторної алгебри.

2. У просторі Я "вводилося скалярний добуток двох векторів І у (/ /,, 17 ₂ по формулі

Легко перевірити, що вимоги 1 - 4 виконуються.

3. У просторі неперервних на відрізку функцій введемо

скалярний добуток двох функцій А '(/) і у (/) за формулою

АТ I

•: ¹

I (х _У у) = I Використовуючи правила інтегрування, можна

г *

перевірити, що акіоми 1 - 4 виконуються.

Нехай І довільне конечномерное евклидово простір з

базисом е _1 У е _2, ..., е _я. Нехай

Тоді, використовуючи аксіоми 2 і 3, отримаємо

і л

Позначимо. ^Г Д ^е 0 (аксіома 4). Отримаємо обшуй вид скалярного твори в кінцевому евклідовому просторі

(* >> ') = X XX

• У

Задаючи різним чином скалярний твори базисних векторів (е _у, е,), отримаємо різні форми скалярного твори б V.

Сучасна? Гуманні Арна? Академії

65

ІЕ

Ю № СГД ^>> ШГ ^И -? Пгпл ^Я д ^{ЩО 8Се 6аЗІСИ по} АП ростра мствя складаються з одного І того ж числа векторів т. яке називається розмірністю

підпростору IV і позначається dim IV - ш -

Розглянемо приклади підпросторів.

Безліч складається лише з нульового вектора {Про}, є

підпростір в Vn весь простір У також є підпростір самого себе. Ці два підпростору називають невласними.Решта ж підпростору - власні.

1. Нехай у просторі ^{А> ч} заданий фіксований вектор

. Розглянемо безліч І ^ векторів з Н ^У, ортогональних

вектору а:

Покажемо, що W-підпростір. Дійсно, нехай xeW, yeti ', тобто їх скалярні твори з вектором а дорівнюють нулю:

^е. 2 (а, х) = 0, (а, _} ') = 0. Розглянемо вектор х + у, перевіримо, чи належить він т.е.равно чи скалярний твір нулю:

(А, х + у) = _(а> х) + (а, у) = 0 + 0 - 0 х + уе W, аналогічно, для

У *

будь-якого числа а вірно:

, Тобто W-підпростір.

Розпишемо координатне рівність _(л} х) = 0:

Ш   </, *, + А ₂ х ₂ + п ₃ х ₃ = 0.

Геометрично це рівняння визначає будь-яку площину (тому а - довільно), що проходить через початок координат. Розмірність

\ DimfV = 2 (площина двумерна).

Зауважимо, що будь-яка площина і пряма, що проходять через початок

коордінатв просторі Н \ є підпросторами в / Г. Інших

власних подлорстранств в R немає.

Безліч рішенні системи лінійних однорідних рівнянь,

Лх = 0, де xeR ⁿ є подпространством ІсУГ, причому

dim W-п ~ г, де г = rangA.

Сучасна Гумвннгармая Лодсом * "«

61

Основні метричні поняття Визначимо тепер з помощьюЯ _ЛОТ 0

Скалярного твори довжину вектора і кут між векторами.

I. Довжина вектора.

Довжиною вектора х. Або нормою вектора про евклідовому прострамстое |

будемо називати величину

/ А / уГг.д) (береться арифметичне значення кореня).

Зауважимо, що в просторах Л "і А * норма | л | збігатися

звичайної довжиною лектора а *. У просторі / Г 'для вектора д. * = (*?, ».. £.)

Нормою функції х (/) еС _{і> 1} є величина j * (/) j - (О "'

Цю величину позначають іноді | | д (/) | |. З визначення норми випливає, |

що / х /> 0 при х * Про. Та М = 0 при а = 0.

Абсолютну величину числового множника можна виносити за знак I норми ректора

Вектор а. що має довжину 1, називається нормованим.? Очевидно, ВСЯК ненульовий вектор А МОЖНА нормувати. Для ЦЬОГО I

• 1 С |

_{3 січня}

досить помножити його на число Я = -,

Л 1

l> l = N = j ^ jN ^{= l} -

Безліч Мег називається обмеженим, якщо довжини всіх векторів Хем обмежені фіксованою константою. Наприклад, одиничний куля простору V-сукупність усіх векторів ХЕГ,

М-i *

2. Кут між векторами. Кутом між парою векторів у Убуд називати той кут <р, косинус