Глава 3. Квадратична форма. Зведення до канонічного виду § 1. Основні визначення. Матриця квадратичної форми.

Нахай А= , де

Розглянемо числову функцію , аргументом якої є вектор , опозначимо цю функцію Q( )=

Запишемо Q( )в координатному виді:

=

i-ая координата отриманного вектора :

Умножим полученный вектор скалярно на вектор

Визначення. Скалярная функція векторного аргументу блаблабла, де А-симетрична матриця порядку , називається квадратичною формою, а матриця А-матрицею квадратичної форми.

Вираз (*) є координатної записом квадратичної форми.

Приклад 1. Записати в координатному вигляді квадратичну форму з матрицею

§ 2. Перетворення матриці при лінійній заміні змінних

§ 3. Зведення квадратичної форми до канонічного виду ортогональним перетворенням

§ 4. Зведення кривої другого порядку до канонічного виду

§ 5. Знаковизначення квадратичної форми. Критерій Сильвестра.

Визначення. Квадратична форма називається додатньо визначеною, якщо для будь якого .

Квадратична форма називається невід'ємно визначеною, якщо для будь якого .

Квадратична форма називається від'ємно визначеною, якщо для будь якого .

Квадратична форма називається недодатньо визначеною, якщо для будь якого .

Очевидно, що якщо — від'ємно (не додатньо) визначена, то форма — додатньо (не від'ємно) визначена, тому ми будемо цікавитися умовами додатньої і невід'ємної визначеностей.

Квадратична форма яка володіє одним із перерахованих властивостей, називається знаковизначеною у іншому випадку —знаконевизначеною.

Приклади.

1. — додатньо визначена в , так як для всіх .

2. — невід'ємно визначена в , так як , причому, на будь якому векторі , для якого .

3. — не являється знаковизначеною, так при , а при .

Важливо вміти визначати "знак" форми. Не завжди це легко зробити по виду форми. Сформулюємо без доказів теореми:

Теорема 1. Квадратична форма додатньо визначена тоді і тільки тоді, коли всі власні числа її матриці позитивні.

Квадратична форма невід'ємно визначена тоді і тільки тоді, коли всі власні числа її матриці не невід'ємні. Так наприклад, квадратична форма додатньо визначена, так як власні числа її матриці позитивні (див приклад 2, §2, гл. 1).

Інший спосіб визначення "знака" квадратичної форми не потребує обчислення коренів характеристичного многочлена. Дана матриця

.

Розглянемо n її мінорів

,

,

,…,

.

Мінори будемо називати кутовими мінорами матриці А.

Теорема 2. (Критерій Сильвестра). Квадратична форма додатньо визначена тоді і тільки тоді, коли всі кутові мінори матриці А позитивні.

Приклад 1. .

.

Кутові мінори: , , , отже по критерію Сильвестра форма додатньо визначена.

Приклад 2. .

.

Кутові мінори: , , .

Форма додатньо визначена.

Критерій Сильвестра не працює для з'ясування невід'ємної визначеності квадратичної форми.

Введемо допоміжні поняття. Визначимо головний мінор порядку k матриці А з допомогою наступної процедури:

• вибираємо довільні k елементів на головній діагоналі;

• беремо строки и стовпці, які містять ці елементи;

• виписуємо матрицю k-го порядку, елементи якої розташовані на перетині виділених строк и стовпців. Визначником цієї матриці є головний мінор k-го порядку матриці А, який визначається вибраним набором діагональних елементів

Наприклад, матриця 3-го порядку має

1. три головних мінору 1-го порядку (діагональні елементи);

2. три головних мінору 2-го порядку ;

3. один головний мінор 3-го порядку — визначник матриці .

Теорема 3. Квадратична форма невід'ємно визначена тоді, коли всі головні мінори матриці А невід'ємні.

Приклад 3. .

.

Кутові мінори: , , .

По теоремі 2 форма не являється додатньо визначеною. Перевіремо знаки головних мінорів матриці А.

Головні мінори:

1. першого порядку : 1>0, 2>0, 2>0;

2. другого порядку: , ,

3. мінор третього порядку: , отже, квадратична форма невід'ємно визначена.

У висновку покажемо, як із критерію Сильвестра можна отримати умову від'ємної визначеності квадратичної форми. Нехай форма — від'ємно визначена, тоді форма додатньо визначена, і кутові мінори матриці –А позитивні. Випишемо їх для матриці

, тоді .

Випишемо кутові мінори матриці А

;

;

.

Отже, квадратична форма від'ємно визначена, якщо знаки її кутових мінорів чергуються, причому перший з них ; ; ; и т.д.

Приклад 4. .

;

кутові мінори: ; ; .

Отже форма — від'ємно визначена.