Глава 2. Зведення симетричної матриці до діагонального виду § 1. Скалярний добуток в підпросторі . Процес ортогоналізації

Процес ортогоналізації

   У юніті нашого першого курсу вже було введено поняття скалярного твори в просторі Rⁿ . Напомним его.

Нехай и -два вектори простора , тоді скалярним добутком веторів буде або

У наступних розділах буде узагальнення поняття скалярного добутку та розглянуто його основні властивості .

Нагадаємо, що довжина векотра є (норма вектора)

Два вектори и ортоганальны, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю, т.е. ( =0

Визначення.Система векторів ортоганальни, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю, т.е. ( =0

Визначення. ортоганальны, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю, т.е. ( =0

( для всех

1. ( для всех

Можна довести ( що буде зроблено нижче) , що ортогональна система лінійно незалежна

Визначення. Ортонормованною називается система векторів из , якщо

1)Система ортогональна.

_{2)Довжина кожного вектора системи равна 1, т.е.}

Будь-який вектор можно норувати , т.е. побудувати такий вектор , що .

Вектор називається ортом вектора , якщо його довжина дорівнює одиниці, а його координати:

.

Наприклад, ортом вектора

, т.к. .

Отже, будь-яку ортогональну систему легко трансформувати в ортонормовану.

Будь-яка ортонормирована система з n векторів простору утворює ортонормованій базис простору .

Нехай линійно незалежна система векторів з . Тоді її можно ортогоналізувати, тобто побудувати ортогональну систему векторів таку що, линійні оболочки векторів та збігаються:

.

О лінійній оболочці див. юніт 1.

Покажем, як з системи будується .

Алгоритм процеса ортогоналізації: 1) 2) коэффіціент подберем так щоб и були ортогональні, т.е. .

, звідси .

_{3) . и шукеємо одну з умов:}

_або

.

т.к. _{, то} . ,

_{т.к , то} .

Отже,

_,або

_.

_{Аналогічно будуються вектори} , ,…. , де

_.

_{Зауважимо, щя вектори нової сиситеми} ,… є лінійними комбінаціями векторів лінійно незалежної системи _{, т.е належать .}

_{Отже, від випадкового базиса линійной оболочки мы перейшли до ортогональномго базису , де .}

_{Приклад. В просторі вектори} =(2.0) и =(2,2) не колинеарні та образують базис. Т.к. ( )=4 , то базис ортогональний.Побудуємо ортогональний базис .

1.

2. де =

3.

Базис - ортогональний, але не нормований.Нормуємо цей базис:

Базис , -ортонормированний стандартний базис.

Стандартні базиси и в являются ортонормованими базисами.

§ 2. Ортогональна матриця

Нехай ₁, ₂, … , _n– базис в просторі Rⁿ, a ₁, ₂, … , _n – другой базис цього же простору. Векторы ₁, ₂, … , _n­ однозначно виражаються через базис ₁, ₂, … , _n:

_k = a_1k* ₁+a_2k* ₂+…+a_nk* _n (k=1,2,…,n) або

_k= _tk* _t

Запишемо координати вектора _k по базису ₁, ₂, … , _n в к-ий стовпчик матриці А:

Нагадаємо, що матриця називається матрицею перехода від базису к базису .Матриця А не вироджена, так як її стовпці –координати векторів ₁, ₂, … , _n , тому існує зворотня матриця А^-1 , яка є матрицею переходу базиса до базису .

Відслідкуємо приватний випадок коли та два ортонормированих базиса в Rⁿ _k= _tk* _t

(k=1,2,…,n)

Обозначимо матрицю перехода U

U=

Матрица U обладає наступними свойствами: її вектор- стовпці u₁,u₂, …, u_n образують ортонормирований базис в Rⁿ, т.е.

1. (u_i, u_j)=0 (i )

2. (u_i, u_j)=1 (i=j), (i=1,2,…,n).

1. Визначення. Квадратна матриця порядку n, стовпці якої задовольняють умовам (a), (b) називається ортогональною.

2. Перелічимо основні властивості ортогональної матриці U:

3. 1. Рядки матриці U (як і стовпці) утворюють ортонормованій базис в Rⁿ.

4. U^T=U^-1 , т.е. обчислення оберненої матриці для U зводиться до її транспонування.

5. (u , u )=( , ) для всіх , Rⁿ.

1. Ця властивість означає, що скалярний добуток при дії ортогональної матриці U на вектори зберігається, а значить зберігаються довжини векторів і кути між ними.

2. Будь-яке з перерахованих властивостей може служити визначенням ортогональної матриці. Ми будемо дотримуватися спочатку даного опеределения.

3. Розглянемо приклади.

В просторі R² поворот на угол ϕ (0<ϕ<π) по годиникової стрілці задається матрицею перехода

A

Легко перевірити, що матриця А (φ) ортогональна. З геометричних міркувань очевидно, що довжини векторів і кути між ними при такому перетворенні зберігаються.

2.В просторі R розглянемо перетворення-відображення вектора относитель осі ОХ.При такому перетворенні базис , перейде в базис = , = .Тоді матриця переходу А від базиса { } к базису { } має вигляд:

Отже, це перетворення зберігає довжинуі вектора та і угли між ними, а матриця переходу А-ортогональна.

У заключенні подивимося, як змінюються координати вектора при переході від одного базису до іншого.

Нехай в задани два базиса , ,… и , ,… , . Обозначимо С матрицю перехода від старого базиса { } к новому базису { }, т.е. .

Выберемо випадковий вектор , розложимо його по «старому базису»:

Аналогічно, разложення цього вектора по «новому базису» {g} має вид:

4. Об'єднаємо всі знайдені системи , відповідають різним власним числам. В результаті отримаємо ортогональну систему з власних векторів матриці А (різним відповідають ортогональні власні вектори), яка і утворює базис в – власний ортогональний базис матриці А:

5. Нормуємо цей базис:

Отримаємо ортонормованій власний базис (див. уміння) симетричною матриці А.

Зауважимо, що матриця С переходу від стандартного базису до власного базису {g} - ортогональна. Тепер сформулюємо ще один важливий результат. Для всякої симетричною матриці А існує така ортогональна U, що B = , причому В має діагональний вигляд: B=( , де - власний числа матриці А В якості матриці слід взяти ортогональну матрицю переходу С.)