§2 Про наближене обчислення значень матриць

Знаходження власних значень і власних векторів матриць потрібно в багатьох фізичних і технічних завданнях при дослідженні стійкості різних процесів , наприклад при визначенні стійкості і коливань різних інженерних споруд.

Задачу відшукання всіх власних значень і власних векторів матриці називають повною проблемою власних значень , а знаходження лише деяких з них - часткової проблемою власних значень .

Завдання чисельного знаходження власних значень і векторів є однією з найбільш складних обчислювальних задач алгебри.

Як відомо , власні значення А. матриці А є корінням характеристичного многочлена бе ^ А -АЕ ) . Може здатися , що основна трудність полягає у знаходженні коренів цієї многочлена , однак , для довільної матриці , особливо великого розміру , скрутно обчислити самі коефіцієнти характеристичного многочлена . Тому більшість чисельних методів грунтуються не на отриманні характеристичного многочлена матриці А , а на різних перетвореннях , що спрощують матрицю.

У практичних завданнях найчастіше потрібно обчислити не всі власні значення , а лише деякі з них. Так , у питаннях стійкості потрібно знайти мінімальне (або максимальне) по модулю власне значення матриці .

Для цього найпростіше використовувати ітераційні методи. Опишемо такий алгоритм для знаходження максимального по власного значенні та відповідного влас вектора.

Нехай матриця А порядку n має всі дійсні собстве значення і відповідні власні вектори u, які утворюють базис в R ". Припустимо, що власні значення / задовольняють умовам:

, тобто власні значення монотонно зменшуються по модулю, при цьому - максимальне значення.

Візьмемо вектор y та рокладемо його по базису {u}

Помножимо тепер матрицю A на вектор , в результаті отримаємо вектор

Помноживши А на ми отримаємо

Повторюючи процес, Через k кроків переробимо рівняння:

Так як , то

Це значить, що при великих k - в розкладі вектору зменшуються и не грают великої ролі, а значить, вектор буде майже коленіарним до вектору

Наведені міркування покладені в основу ітераційного методу знаходження найбільшого по модулю власного значення. Цей метод носить назву статечного методу. при досить великому 1, довжини отриманих векторів сильно ростуть, тому при реалізації алгоритму зазвичай проводять нормировку Алгоритм степеневого методу полягає в наступному: 1. Здається початкове наближення 2. Послідовно обчислюються , k=1, 2,3, ... за спеціальними формулами

3.Обичислення проходить до того часу, поки не стане , де задана точність.

4.Власний вектор

Це означає, що послідовність довжин векторів сходиться до максимального власного значення , а послідовність векторів до власного вектору , відповідному власному значенню

Так для матриці

Якщо найбільше по модулю власне значення має кратність більше одиниці, то інтеграційний процес збігається до одного з власних векторів власного простору V. Вибираючи різні початкові вектори , можна побудувати всі лінійно незалежні власні вектори простору V.

Якщо треба знайти найменше власне значення V, то слід використати: якщо - власний вектор А з власними значенням, то

Таким чином вектор u є власним для матриці відповідаючим власному значенню

Звідси виходить, що

Лінійна алгебра