Задание 2

В просторі многочленів степені ≤2 задано оператор.

Знайти матрицю оператора D в стандартному базисі e=1; e=2; e= і в базисі f=t+1; f=t-1; f=t.

Розв’язок

№	Алгоритм	Конкретне співвідношення данної ситуації запропонованому алгоритму
1	Створити матрицю переходу від {e} до {f}. Вирахувати	C=
2	Записати матрицю А, оператора D в базисі {e}
3	Розрахувати матрицю оператора D в базисі {f}

Розв’яжіть самостійно задачі:

Задача 12.1

Лінійний оператор А в базисі {e} має матрицю

Знайти матрицю цього оператору в базисі {f}, якщо

Задача 12.2

В просторі R оператору А:R→R, Ax=(2x1,x2,x3+x1), де х=(х1,х2,х3)є R. Написати матрицю оператора Ае в стандартному базисі {e} та Аt в базисі {f}, де f1=e1+e2+e3; f2=4e2+e3; f3=e2+2e3;

Задача 12.3

В лінійній оболонкі задано оператор D(f) : f(f)→ . Написати матрицю оператора D в базисах і cht, sht.

Задание

В просторі Р многочлен степені ≤ 2 задана система векторів

і преобразування А: p(t)→ . Впевнетись, що {f} – базис, оператор А- лінійний. Написати матриці оператора А в базисах {e} і {f}, де {e} – стандартний базис .

Розв’язок

№	Алгоритм	Конкретне співвідношення до заданого алгоритму
1	Виписати стандартний базис
2	Дізнатися, утворює система {f} базис	Координати векторів {f} в базисі {е} Знайдемо ранг системи векторів {f} Ранг системи {f} дорівнює
3	Повторити лінійність оператору А	Нехай f,g,e,P – будь-які многочлени степені ≤ 2, альфа і бетта – будь-які числа, тоді A –лінійний оператор
4	Виписати матрицю переходу С від {e} до{f}	С=
5	Написати матриці А в базисах {e} i {f}
6	Впевнетись, що

Розв’яжіть самостійно наступні задачі

Задача 13.1

В просторі многочленів степені ≤ 2 задана система векторів {f} і преобразування А. Впевнитись, що {f} – базис, А – лінійний. Написати матриці оператору А в базисі {f} і в стандартному базисі {e}

Задача 13.2

В просторі многочленів степені ≤ 2 задана система векторів {f} і преобразування А. Впевнитись, що {f} – базис, А – лінійний. Написати матриці оператору А в базисі {f} і в стандартному базисі {e}

Задача 13.3

В просторі многочленів степені ≤ 2 задана система векторів {f} і преобразування А. Впевнитись, що {f} – базис, А – лінійний. Написати матриці оператору А в базисі {f} і в стандартному базисі {e}

Файл матеріалів

1. Перпендикуляр з точки в простір

Задача про найкраще приближення

Якщо вектор лг Я ортогонален векторах уру2 , ... , у / ( , то очевидно , він ортогонален будь-якому вектору з лінійної оболонки Цу1 , у2 , ... , ук ) . Взагалі , якщо Я , - підпростір евклидова простору / 7 , а вектор хей ортогонален будь-якому вектору з Я ? , То говорять , що вектор л - ортогонален подпространству / ? Г Сукупність усіх таких векторів х , які ортогональні подпространству Я , , самі утворюють підпростір йг . Його називають ортогональним доповненням до підпростору Я , . Для того , щоб А'Є / 7 був ортогонален подпространству Я ( , достатньо, щоб тбил ортогонален кожному з векторів базису / ? Г Зауважимо , що кожен вектор простору А'єЯможет бути розкладений на суму 2 -х векторів: У з підпростору Я ; і х " з його ортогонального доповнення / 7 , . Розмірність ж всього простору є пряма сума розмірностей підпростору і його ортогонального доповнення. Розглянемо в просторі Янекоторое / л - мірне підпростір Я ; : нехай вектор / еЯне належить йг Поставимо задачу: знайти такий вектор / 0еЯ ? , Щоб вектор / ? = / -/0бил Ортогонален Я , . Вектор 1 = 0 називають ортогональною проекцією / , на Я , (див. малюнок , де в якості Я взято Я ' , а підпростір Я , - довільна площину ; вектор / не лежить на площині Яг ) . Покажемо спочатку, що , як і в елементарній геометрії , перпендикуляр / ? є найкоротша відстань від точки / до підпростору Я ; , тобто якщо взяти будь відмінний від / я вектор / , еЯя то

Дійсно, так як f є R, f1 є R1, то і вектор fa-f є R1, значить ортогональний вектору

h=f-fa;

За теоремою Піфагора:

Звідси

Вирахувати тепер по вектору f його ортогональну проекцію f0 на подпространство Я_г Пусть е ₁,е₂,....е_т базис /?,, тогда 1₀ можно искать в виде

Коефіцієнти с₍ знайдемо, використовуючи властивості ортогональності f- f₀=h к Я_г Для этого необходимо и достаточно, чтобы Ф,е)=0- (Ы„е) = 0, (( е) = (^,е) (1=1,2,...,т).

Подставляя вместо /_Оего выражение через векторы базиса, получим относительно с_/ 0= 1,2,..,,т) систему уравнений.

(I е) = с^(е_ге) + с₂(е₂,е)+... + с_т(е_т,е) 0=1,...,т) (*)

Если базис е₁,е₂,...,е_т - ортогональный и нормированный, то коэффициенты с получатся особенно просто

с=(Г,е) (/=1

Система уравнений (*) позволяет однозначно вычислить в этом случае коэффициенты с, а значит, однозначно найти проекцию вектора /на Я_г

Этот единственный вектор f₀ может быть вычислен и в том случае, если базис е₎,е₂,...,е_т - произвольный. Система уравнений (*) должна иметь единственное решение. Напомним, что это значит, определитель системы должен быть отличен от нуля:

Отже , щоб знайти ортогональну проекцію вектора Л1 на підпростір / ? , , Слід координати ^ обчислити , вирішивши систему рівнянь ( *). Якщо в Л1 обраний ортогональний нормований базис е , , тобто , , . , . , Єп , то координати / ^ обчислюються за формулою :

с, = ( 1 , е) 0 = 1,2 ,

Сформулюємо ще одну корисну теорему про визначнику Грама (доказ її опустимо ) .

Теорема . Позначимо визначник Грама векторів хг х " хт

( хих , ) ... { хт , х , )

З { х'х2 , ... , х " ) =

( х , , хга ) ... ( х "" хт )

Тоді виконуються нерівності

0 < О ( х1 , х2 , ... , хт ) < ( х " х , ) .. { хп , хт ) .

Причому знак рівності зліва досягається тільки коли вектора х , , ... , хт - лінійно залежні , а праворуч у разі попарной ортогональности векторів .

Розглянемо приклади перебування ортогональної проекції вектора на підпростір .

1 . Метод найменших квадратів .

Передбачається , що у є лінійна комбінація х} , х2 , ... , хт з невідомим коефіцієнтами с, . С2 , ... , с ",

у ^ з ^ + сгхг + ... + СТХТ .

Часто доводиться визначати с1 , ... , ст експериментально , для чого п раз вимірюються величини х ) , хг , ... , хт і у.

Позначимо результати к- го виміру х1к , х2к , ... , ХТК і ук

відповідно ( к = 1,2 , ... , п) , Тоді для визначення чисел з , , с2 ст

отримаємо систему

Зазвичай п>т. Так як виміри величин х_г, х_т, у зв’язані з похибками, то система (**), взагалі кажучи, несумісна, і можна говорити о її приближенному розв’язку. “Лучшим” вважається такий набір с_гс_г,...,с_т, при якому досягається мінімум квадратичного уклону

+- + £„^х„_л -у_кУ .

Застосуємо до цього завдання викладені вище результати. Розглянемо д-мірне евклидово простір і векторие

,(х_п,х,_г,...,х,^ е/х_2Гх₂₂,...,х_гп),е_т(х_гл„х_тг,...,х_тп).

Координаты вектора е_/ - це результат п-кратного виміру перемінної х. Вектори е_ге₂,...,е_т можна вважати лінійно незалежними; розглянемо також вектор

У=(У„У₂,-У_т)-

Систему рівнянь (**) в векторному виді можна записати

^с,^е,^+сЛ⁺--^+с_т^е_т=У-

5 є квадратом довжини вектору-різниці

^с,^е, ^+с2^е2⁺- ^+С„,^е_т-У-

Якщо обозначити Я_! – підплощину лінійних комбінацій е₁,е₂,...,е_т, то задача зводиться до знахождення ортогональної проекції вектора уна /?,, тілько в цьому випадку 5 досягає мінімуму.

Як було показано, числа с₁,с_г,...,с_т треба знайти з системи рівнянь (*) (р=у)

(е_ие_])с, + (е₂,е₁)с₂+... + (е_т,е₁)с_т =у(у,е_})

(е_1:е₂)с, + (е₂,е₂)с₂ +... + (е_т,е₂)с_я = у(у\е₂)

……………………………………………

(е_1:е_m)с, + (е₂,е_m)с₂ +... + (е_m,е_m)с_m = у(у\е_m)

Де

Вправа

Розв’язати несумісну систему рівнянь методом найменших квадратів

2. Наближення функції тригонометричними поліномами. Нехай f(t)- непреривна функція на відрізку [0,2pi]. Ставиться задача пыдыбрати тригонометричний многочлен Р(t) данного порядку, найменш відхиляючий від f(t). За міру відхилу Р(t) від функціх берем квадратичний відхил

Многочлен порядку n має вигляд

Нагадаємо, що в просторі непреривних функцій скалярний добуток двох векторів задається інтегралом

Тоді S – квадрат відстані від f(t) до P(t)

Щоб мінімізувати інтеграл ще раз можно опустити з точки f(t) перпендикуляр на простір

R , натянутий на базис, який складається з (2n+1) функції

Базис {e} – ортогональний і нормований.