Тренінг умінь

1. Виписати матрицю А квадратичної форми.

Розв’язок

Заповніть таблицю, підбираючи до кожного алгоритму конкретну відповідність із завдання

№ п/п	Алгоритм	Конкретна відповідність даної ситуації запропонованому алгоритму
1	Виписати симетричну матрицю квадратичної форми	Для даної квадратичної форми
2	Знайти всі кутові мінори матриці А.
3	Визначити знак квадратичної форми. Буде форма визначена додатньо?	По критерію Сильвестра Q(x) не є додатньо визначеною, так як не всі кутові мінори додатні. Знаки кутових мінорів чергуються, при чому . Отже, - від’ємна.

2. Знайти всі значення параметра а, при яких квадратична форма

Розв’язок

Заповніть таблицю, підбираючи до кожного алгоритму конкретну відповідність із завдання

№ п/п	Алгоритм	Конкретна відповідність даної ситуації запропонованому алгоритму
1	Виписати симетричну матрицю А
2	Знайти всі кутові мінори матриці А.
3	Застосувати критерій Сильвестра	для всіх а Є (1,3). Відповідь: якщо параметр а Є (1,3), то квадратична форма Q(x) визначена додатньо

3. Знайти власні значення та власні вектори матриці

Розв’язок

Заповніть таблицю, підбираючи до кожного алгоритму конкретну відповідність із завдання

№ п/п	Алгоритм	Конкретна відповідність даної ситуації запропонованому алгоритму
1	Скласти характеристичний многочлен	=
2	Написати характеристичне рівняння.	=0 або
3	Знайти корені рівняння
4	Для кожного знайти власні вектори	або ця система еквівалентна одному рівнянню . Розмірність підпростору розв’язків . Фундаментальна система розв’язків (ФСР) складається із двох векторів Випишемо загальний розв’язок системи { , або Розв’яжемо систему методом Гауса r(A)=2, n=3. Cпільний розв’язок ФСР
5	Знайти ФСР для кожного	.
6	Об’єднати всі знайдені ФСР	Лінійно незалежна система власних векторів матриці А утворюють ортогональний базис простору , так як

Перелік умінь

№ п/п	Уміння	Алгоритм
1	Знаходження власних значень та власних векторів матриці А порядку n	1. Скласти характеристичний многочлен 2. Написати характеристичне рівняння 3. Знайти корені характеристичного рівняння та власні числа матриці А. 4. Для кожного скласти систему рівнянь для визначення власних векторів, які відповідають власному числу 5. Знайти Фундаментальну систему розв’язків отриманої системи – базис власного підпростору 6. Об’єднати всі знайдені системи за всіма коренями характеристичного многочлена. Отримуємо лінійно незалежну систему із власних векторів матриці А.
2	Побудувати ортогональну систему векторів	=0 або
3	Знайти корені рівняння
4	Для кожного знайти власні вектори	або ця система еквівалентна одному рівнянню . Розмірність підпростору розв’язків . Фундаментальна система розв’язків (ФСР) складається із двох векторів Випишемо загальний розв’язок системи { , або Розв’яжемо систему методом Гауса r(A)=2, n=3. Cпільний розв’язок ФСР
5	Знайти ФСР для кожного	.
6	Об’єднати всі знайдені ФСР	Лінійно незалежна система власних векторів матриці А утворюють ортогональний базис простору , так як