§ 6. Евклідові простори

визначення евклидова простору. З поморю поняття]

лінійного простору можна сформулювати, що так багато!

плоске, ь. розмірність простору, паралельність ° ДААК багато * факти евклідової геометрії, пов'язані з вимірюванням довжин і кутів,! залишалися за межами наших розглядів. Згадав, 1

аналітичної геометрії для визначення довжин і вимірювання кутів між векторами можна було користуватися поняттям скалярному твору.

Ноуже це поняття включало в себе вміння міряти довжину векторів і косинус «

кута. В арифметичних лінійному просторі К "було визначено скалярний твір, і з його допомогою вводилися основні метричні поняття (довжина вектора, ортогональность векторів).

Загалом лінійному просторі V введемо поняття скалярного твори аксіоматично.

Визначення. Кажуть, що в «матеріальному лінійному просторі V визначений скалярний твір,якщо кожній

парі векторів х, у е V поставлено у відповідність дійсне число, г

яке позначимо (х, у), причому це відповідність задовольняє ^ наступному аксіомам;

ИЕ, ^ '\ *> у) • ^{т е} - скалярний твір симетрично;

(Виконано переместітельний закон).

12. +   =   + (*, *) (Розподільний закон).

13.  (Лх, у) = Л (х.у), для будь-якого речового Я.

14. (*, *)> 0 при л: * 0 і (ДГ, лг) = 0 при г = О

билинейной з 1 ", трГіГ ^; :: рр. _л ^{в: ​​е ввкг} ° ^р ° ^в« до є

Будь-яка форма, визначеної

малярське твір. ^{1 е} т бути прийнята за

*

I

15. Якщо в лінійному просторі задані базиси {е}, {/} і {я}, причому С-матриця переходу від базису {з} до {/). аВ - матриця переходу від базису {/} до {&}, то матриця - твір С-В є гве ї матрицею переходу від базису {<?} до {#}.

Наприклад, нехай вектори "нового" базису £, _; £ ₂ , £> тривимірного

лінійного простору виражені через "старий" базис ^по

формулами:

Щоб составітіь матрицю С переходу від {/} до {#}, запишемо • '» I координати векторів системи {#} побазису {/} в стовпці матриці С:

I

з 08 Та Матриця С невироджена,. Матриця С має вигляд:

Отже, співвідношення, що виражають вектори базису {/} через вектори {*}

Розглянемо тепер, як перетворюються координати довільне

Глава 5. Лінійні оператори

§ 1. Визначення і приклади

§ 2. Матриця лінійного оператору

§ 3. Самоспряжений оператор

ЗАВДАНННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНРЇ РОБОТИ

Задача 1. Знайти власні значення та власні вектори матриці А

№ 1 ; № 2 ; № 3

№ 4 ; № 5 ; № 6 ;

№ 7 ; №8 ; № 9 ;

№ 10 ; № 11 ; № 12 ;

№ 13 ; № 14 ; № 15 ;

№ 16 ; № 17 ; № 18 ;

№ 19 ; № 20 ; № 21 ;

№ 22 ; № 23 ; № 24 ;

№ 25 ; № 26 ; № 27 ;

№ 28 ; № 29 ; № 30 ;

Задача 2⃰. Привести криву другого порядку до каночного виду ортогональним перетворенням.

Варіанти:

№ 1.

№ 2. ;

№ 3. ;

№ 4. ;

№ 5. ;

_{№ 6.}

_{№ 7.}

_{№ 8.}

_{№ 9.}

_{№ 10.}

_{№ 11.}

_{№ 12.}

_{№ 13.}

_{№ 14.}

_{№ 15.}

_{№ 16.}

_{№ 17.}

_{№ 18.}

_{№ 19.}

_{№ 20.}

_{№ 21.}

_{№ 22.}

_{№ 23.}

_{№ 24.}

_{№ 25.}

_{№ 26.}

_{№ 27.}

_{№ 28.}

_{№ 29.}

_{№ 30.}

Задача 3. При яких значеннях параметра 𝛌 квадратична форма Q(x) визначена додатньо (вказати найближче ціле 𝛌)

_{№ 1.}

_{№ 2.}

_{№ 3.}

_{№ 4.}

_{№ 5.}

_{№ 6.}

_{№ 7.}

_{№ 8.}

_{№ 9.}

_{№ 10.}

_{№ 11.}

_{№ 12.}

_{№ 13.}

_{№ 14.}

_{№ 15.}

_{№ 16.}

_{№ 17.}

_{№ 18.}

_{№ 19.}

_{№ 20.}

_{№ 21.}

_{№ 22.}

_{№ 23.}

_{№ 24.}

_{№ 25.}

_{№ 26.}

_{№ 27.}

_{№ 28.}

_{№ 29.}

_{№ 30.}

Задача 4 . Визначити координати образа А(х), якщо даний вектор х і матриця А лінійного перетворення

Варіанти

№1, №16 А= х=(1, -2, -1 )

№2, №17 А= х=(3, -1, 1 )

№3, №18 А= х=(1, 2, -1 )

№4, №19 А= х=(1, 3, 0 )

№5, №20 А= х=(1, 2, 1)

№6, №21 А= х=(1, 0, 2 )

№7, №22 А= х=(1, 2, 1)

№8, №23 А= х=(2, -1, 0 )

№9, №24 А= х=(3, 1, 0)

№10, №25 А= х=(1, -1, 2 )

№11, №26 А= х=(2, -1, 4 )

№12, №27 А= х=(1, -1, 2 )

№13, №28 А= х=(0, 1, 2 )

№14, №29 А= х=(1, 1, 1)

№15, №30 А= х=(2, 2, 2 )

Задача №5 В просторі V многочленів P(t) степені n зі стандартним базисом , задана система векторів і оператор A: V

1. Перевірити, що є теж базисом

2. Перевірити лінійність оператора А

3. Знайти матрицю переходу С від базиса {e} до базису {f}

4. Знайти матриці оператора А в обох базисах

5. Перевірити формулу C

Варіанти

№1, №16 A(p)=

№2, №17 A(p)=

№3, №18 A(p)=

№4, №19 A(p)=

№5, №20 A(p)=

№6, №21 A(p)=

№7, №22 A(p)=

№8, №23 A(p)=

№9, №24 A(p)=

№10, №25 A(p)=

№11, №26 A(p)=

№12, №27 A(p)=

№13, №28 A(p)=

№14, №29 A(p)=

№15, №30 A(p)=