Перелік умінь

№ п/п

Уміння

Алгоритм

1.

Знаходження власних значень та власних векторів матриці А порядку n

1. Cкласти характеристичний многочлен .

2. Написати характеристичне рівняння =0.

3. Знайти корені характеристичного рівняння - власні числа матриці А.

4. Для кожного (і=1..n)скласти системі рівнянь для визначення власних векторів, які відповідають власному числу .

5. Знайти фундаментальну систему розв’язків отриманої системи - базис власного підпростору V .

6. Об’єднати всі знайдені системи за всіма різними коренями характеристичного многочлена. Отримуємо лінійно незалежну систему із власних векторів матриці А.

2.

Побудувати ортогональну систему векторів за заданою лінійно незалежною системою (ортогоналізувати систему векторів

1. Покласти

2. Отримуємо ортогональну пару векторів

3. 

4. Виписати отриману систему ортогональних векторів лінійні оболонки системи {f} та {g} співпадають L( )=L( ).

3.

Виписати матрицю А квадратичної форми Q(x)=A(x,x), де xєR. Перевірити, буде квадратична форма визначена додатньо (по критерію Сильвестра)

1. _Нехай

Тоді матриця квадратичної форми

Де

Виходить симетрична матриця А.

2. Знайти всі кутові мінори матриці А.

3. Застосувати критерій Сильвестра якщо

>0, >0, >0, то квадратична форма визначена додатньо

4.

Привести квадратичну форму Q(x) до канонічного виду ортогональним перетворенням (xє .

1. Виписати симетричну матрицю А квадратичної форми.

2. Знайти власні числа матриці А

3. Знайти власні вектори , які відповідають власним значенням . Вони утворюють базис .

4. Ортогоналізувати базис , отримати ортогональний базис

5. Нормувати базис {g}: : : .

{ } – ортонормований власний базис матриці А.

6. Скласти ортогональну матрицю С, стовпчиками якої служать власні вектори . С – ортогональна матриця переходу від стандартного базису {e} до базису {v}.

7. Зробити заміну змінних x=Cy, яка приводить квадратичну форму Q(x)=A(x,x) до канонічного виду .

8. Записати зворотнє перетворення координат

y= .

5.

Привести центральну криву другого порядку з центром в початку координат _{до канонічного виду (попередньо потрібно перевірити, чи центр знаходиться в початку координат)}

1. Виписати матрицю квадратичної форми

, де

2. Знайти власні числа

3. Знайти ортонормовані власні вектори

4. Скласти матрицю переходу С від базису {е} до базису v {v}.

5. Записати канонічний вид кривої

6. Визначити тип кривої, зробити рисунок.

6.

Перевірити утворює лінійний підпростір множину W, в якій визначені операції додавання чи множення на число

1. Нехай x,yєW . Для них виконана умова, яка визначає множину W. Скласти вектор , де - будь-які числа.

2. Дослідити, чи належить вектор z множині W. Виконані для z умови , які визначають множину W.

3. Зробити висновок:

Якщо ZєW , то W - підпростір, інакше – множина W не є підпростором.

7.

Вияснити, утворює дана система векторів {f} базис лінійного простору

1. Виписати стандартний базис {e} даного лінійного простору і визначити розмірність простору.

2. Визначити координати даної системи векторів {f} і стандартний базис {e}

3. Скласти матрицю А із координати векторів {f} в базисі {e}

4. Знайти ранг матриці А.

5. Зробити висновок:

Якщо ранг А дорівнює розмірності простору, то система {f} утворює базис, інакше – ні.

8.

Знайти координати вектора x в новому базисі {f}, якщо він заданий в базисі {e}

1. Визначити координати нової системи {f} на старому базисі {e}.

2. Записати координати вектора по базису {e} в j –ий стовпчик матриці С. Отримана не вироджена матриця є матрицею переходу С від старого базису {e} до нового базису {f}.

3. Нехай - вектор, стовпці координат х у відповідних базисах

4. Знайти обернену матрицю

5. Знайти координати вектора х в новому базисі {f}.

9.

Перевірити лінійність заданого оператора

1. Скласти вектор , де - будь-які числа. x,yєV

2. Знайти образ

3. Знайти образи Ах та Ау

4. Перевірити, співпадають вектори Az та

5. Зробити висновок: якщо рівність в п. 4 вірна, то оператор А – лінійний, інакше – ні.

10.

Написати матрицю оператора А в заданому базисі {e}

1. Знайти образи базисних векторів і записати їх координати в попередньому базисі {e}

2. Записати k –ий стовпчик А координати вектора по базису {e}. Отримана матриця А – матриця оператора А в базисі {e}

11.

Знайти координати образа y=Ax в заданому базисі {e}

1. Написати матрицю А оператора А в базисі {e}

2. Виписати вектор – стовпчик координат х в базисі і визначити координати вектора у в базисі {e}:

12.

Визначити як змінюється матриця А при переході від базиса {e} до базиса {f}

1. Скласти матрицею переходу С від старого базису {e} до нового базису {f}, визначити матрицю

2. Записати матрицю А оператора А в базисі {e}

3. Визначити матрицю оператора в базисі {f}

13.

В просторі Р многочленів степеня задана система векторів , і перетворення А. Пересвідчитись, що {f}- базис, оператор А – лінійний, написати матриці оператора А в базисах {e} , {f}, де {e} - стандартний базис.

1. Виписати стандартний базис простору Р

2. Дослідити, утворює система векторів {f} базис простору P(див. вміння 7)

3. Перевірити лінійність оператора А (див. вміння 9)

4. Виписати матрицю переходу С від базису {e} до базису {f} (див. вміння 8) Знайти обернену матрицю

5. Написати матриці оператора А в базисах {e}, {f}

6. Пересвідчитися, що