Курсовая работа |
Задача загрузки станков |
Задача
Ткацкая фабрика располагает N1 станками первого типа и N2 станками второго типа. Станки могут производить три вида тканей Т1, Т2, Т3. Каждый вид станка может производить любой из видов ткани, но в неодинаковом количестве. Станок первого типа производит в единицу времени а11, а12, а13 метров ткани Т1, Т2, Т3
соответственно, станок второго типа – а21, а22, а23 метров ткани Т1, Т2, Т3. Каждый метр ткани Тi приносит прибыль сi (i=1,2,3). Согласно плану производства фабрика должна произвести в единицу времени не менее b1 метров ткани Т1 и не менее b2
метров ткани Т2.
Требуется распределить загрузку станков производством тканей различного вида так, чтобы план был выполнен, и при этом прибыль в единицу времени была максимальна.
Математическая модель
L c1 (a11 x11 a21x21 ) c2 (a12 x12 a22 x22 ) c3 (a13 x13 a23 x23 ) max
a11 x11 a21 x21 b1 a12 x12 a22 x22 b2 x13 N1 (x11 x12 ) x23 N 2 (x21 x22 )
xij 0, xij целые
Алгоритм решения
Представим задачу в специальной форме
Запишем симплекс-таблицу. Решая ее симплекс- методом, найдем оптимальное решение
Если оптимальное решение не будет целочисленным, то применим метод Гомори, добавив ограничение уже двойственным симплекс-методом найдем оптимальное решение. Добавлять ограничения будем до тех пор, пока целочисленное решение не будет найдено.
Программа
Программа реализована в среде программирования Delphi 5.0. Она представляет собой универсальную программу для решения задач линейного программирования в специальной форме для задач на минимум. Реализует методы: симплекс-метод, двойственный симплекс-метод, Гомори. Позволяет задавать количество свободных и базисных переменных. Выполняя пошаговое преобразование симплекс-таблицы есть возможность обозначить ведущий элемент.
Решение
Специальная форма
L| c3 (a13 N1 a23 N2) ((c1a11 c3a13 )x11
(c1a21 c3a23 )x21 (c2a12 c3a13 )x12 (c2a22 c3a23 )x22 ) min y|1 b1 (a11 x11 a21 x21 )
y|2 b2 (a12 x12 a22 x22 ) x13 N1 (x11 x12 )
x23 N2 (x21 x22 )
Пример |
|
||
|
|
|
|
|
N1=10 |
N2=5 |
|
|
a11=1м |
a21=3м |
c1=20р |
|
a12=1м |
a22=2м |
c2=10р |
|
a13=1м |
a23=1м |
c3=15р |
|
b1=5м |
b2=6м |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L| 225 (5x11 |
45 x21 |
5x12 |
5x22 |
) min |
|
|
|
|
|
|||
y|1 5 (1x11 3x21 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y|2 6 (1x12 2 x22 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x13 |
10 ( x11 |
x12 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x23 |
5 ( x21 |
x22 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и симплекс-таблица имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
B |
|
X1 |
1 |
X2 |
1 |
X1 |
2 |
X2 |
2 |
|
L’ |
-22 5 |
5 |
|
45 |
-5 |
5 |
|
||||
|
y1' |
5 |
|
1 |
|
3 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
y2' |
6 |
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
X13 |
10 |
1 |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
||
|
X23 |
5 |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
Решая симплекс-методом, получим оптимальную таблицу
|
B |
X11 |
y1' |
X12 |
y2' |
L’ |
-315 |
-10 |
-15 |
-15/2 |
-5/2 |
X21 |
5/3 |
1/3 |
1/3 |
0 |
0 |
X22 |
3 |
0 |
0 |
1/2 |
1/2 |
X13 |
10 |
1 |
0 |
1 |
0 |
X23 |
1/3 |
-1/3 |
-1/3 |
-1/2 |
-1/2 |
Необходимо применить метод Гомори. Строим отсечение, составляем новую симплекс-таблицу и решаем двойственным симплекс-методом.
|
B |
X11 |
y1' |
X12 |
y2' |
L’ |
-315 |
-10 |
-15 |
-15/2 |
-5/2 |
X21 |
5/3 |
1/3 |
1/3 |
0 |
0 |
X22 |
3 |
0 |
0 |
1/2 |
1/2 |
X13 |
10 |
1 |
0 |
1 |
0 |
X23 |
1/3 |
-1/3 |
-1/3 |
-1/2 |
-1/2 |
S1 |
-2/3 |
-1/3 |
-1/3 |
0 |
0 |
В итоге получим оптимальное целочисленное решение
|
B |
S1 |
y1' |
X12 |
y2' |
L’ |
-295 |
-30 |
-5 |
-15/2 |
-5/2 |
X21 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
X22 |
3 |
0 |
0 |
1/2 |
1/2 |
X13 |
8 |
3 |
-1 |
1 |
0 |
X23 |
1 |
-1 |
0 |
-1/2 |
-1/2 |
X11 |
2 |
-3 |
1 |
0 |
0 |
Решение найдено. Максимальная прибыль в единицу времени 295 р. А загрузка станков:
|
T1 |
T2 |
T3 |
N1 |
2 |
0 |
8 |
N2 |
1 |
3 |
1 |
Заключение
Итак, задача загрузки станков решена. Мы получили реальный ответ, используя конкретный пример. Используя нашу математическую модель можно разрешать загрузку станков при различных производственных условиях. Изменять количество станков, их производительность и прибыльность тканей. А программа позволит ускорить процесс решения, т.к. нет необходимости решать “вручную”. Методы и способы решения математического программирования позволяют решать разного рода задачи, как в данной курсовой работе рассмотрено решение задачи загрузки станков.