E) Погрешности функций измеренных величин

В практике топографо-геодезических работ искомые величины часто определяют как функции измеренных величин. Полученные при этом результаты содержат ошибки, зависящие от вида функции и ошибок аргумента. Рассмотрим основные ошибки функций измеренных величин.

1) Функция вида z = x y ( 23 )

m ²_z = m ²_x + m² _y ; при m _x = m _y = m

m _z = m . ( 24 )

2) Функция вида z= kx ( 25 )

m _z = k m _x . ( 26 )

3). Функция вида

z = x y t .... .... u ( 27 )

m²_z = m² _x + m² _y + m² _t +... +... m² _u ; ( 28 )

при m _x = m _y = m_t = ...= m _u = m

m _z = m , ( 29 )

где n - число аргументов.

4) Функция вида

z = k ₁x₁ k₂x₂ k₃x₃ ... k_nx_n ( 30 )

m²_z = k²₁m ²_x + k²₂ m²_x + k²₃m ²_x + ....+....k² m²_x ( 31 )

при к ₁ = к ₂ = к ₃ =...=к _n = k

m²_z = k m . ( 32 )

5). Функция общего вида

z = f ( x ₁ , x _2, x ₃ .... x _n ) ( 33 )

m ² _z = m² + m ² +

+ m² + ... m² . ( 34 )

ж) Ошибка арифметической средины ( среднего арифметического )

Выше дано понятие арифметической средины и приведена формула для оценки её точности ( 11 ). Каким образом она выводится ?

Арифметическое среднее ( арифметическая средина ) из l измерений определяется выражением

= , ( 35 )

где n - число измерений.

Допустим, что m - ср.кв.ош. отдельного измерения, а М - арифметической средины.

Предположим, что измерениям l ₁, l ₂, l ₃, _... l _n соответствуют ср.кв.ош. m ₁, m ₂ , m ₃ ... m _n, причём, m ₁= m ₂= m ₃ = m. Тогда согласно выражению для ср. кв. ош. функции вида ( 29 ) при n₁= n₂= n₃ =...= n_n = n имеем

. ( 36 )

Следовательно, ср.кв.ош. М арифметической средины рассчитывается по формуле

. ( 37 )

З) Относительная ошибка

Относительной ошибкой называют отношение абсолютной ошибки измерения к значению измеряемой величины.

Эта ошибка обычно выражается дробью, или в процентах. Она применяется для оценки точности линейных измерений, измерений площадей, объёмов и т.д.

Например, абсолютная ошибка измерения длины линии , а длина линии L = 500 м. Относительная ошибка

.

Следует отметить, что точность измерений часто оценивается относительной средней квадратической ошибкой, которая выражается отношением средней квадратической ошибки m измерений к результату измерения L, т.е. m / L .

Например, линия длиной L = 800 м измерена со ср.кв.ош. m = 4 см. Относительная средняя квадратическая ошибка в этом случае

.

3 Оценка точности неравноточных измерений а) Понятие неравноточных измерений

Измерения, выполненные в различных условиях, различными инструментами, различным числом приёмов называют неравноточными.

Достоинство результата измерения выражают в этом случае числом, называемым весом измерения. Чем надёжнее результат измерения, тем больше его вес.

Веса устанавливаются в зависимости от условий измерений. Так как определённым условиям измерений соответствует определённая средняя квадратическая ошибка, то наиболее достоверно устанавливать веса измерений в зависимости от неё.

Весом р отдельного результата измерения называют отвлечённое число с, обратно пропорциональное квадрату средней квадратической ошибки m², т.е.

р = . ( 38 )

Вес арифметической средины Р может быть представлен аналогичным соотношением

Р = . ( 39 )

Взяв отношение веса арифметической средины Р к весу отдельного измерения р, получим

. ( 40 )

Таким образом, вес арифметической средины в n раз больше веса отдельного измерения.

Так как вес отдельного измерения р = 1, то вес арифметической средины Р = n. Следовательно, вес арифметической средины равен числу измерений, из которых она составлена.