6.2.2. Анализ полученного результата
Полученное выражение позволяет сделать следующий принципиальный вывод.
Если kR<1, то по отношению к таким возмущениям цилиндрическая поверхность струи неустойчива, так как волнообразование энергетически выгодно. Что означает kR<1? Именно то, что неустойчивость будет проявляться в том случае, если длина волны возмущения больше длины окружности.
По
отношению к решению задачи этот вывод
показывает, что мы правильно предположили,
что
.
Практический же вывод - для того чтобы
получить дальнобойную пожарную струю,
необходимо устранить возмущения
(длинноволновые) на выходе из насадка
(т.е. должны отсутствовать задиры, забоины
и т.д.).
Так как возмущения не с любой длиной волны приводят к неустойчивости, то должны существовать возмущения, которые особенно быстро приводят к распаду струи. Для нахождения длины волны таких возмущений проанализируем полную энергию системы, а для этого вначале найдем кинетическую энергию.
6.2.3. Определение кинетической энергии частиц жидкости в струе, обусловленной их движением под действием колебаний поверхности
Определим кинетическую энергию частиц жидкости в струе, обусловленную их движением под действием колебаний поверхности. Для этого необходимо получить аналитические выражения для компонент скорости vr и vz. Ранее мы отметили, что движение потенциальное и
(*) 
Найдем
.
Поскольку в выражении для
содержится
,
то в выражении для
также должен быть косинус. Будем искать
решение дифференциального уравнения
в виде:
. (**)
тогда
Подставляя выражение для (**) в уравнение (*), получаем:
.
Мы получили дифференциальное уравнение, исследование которого провел Фридрих Бессель и получил фундаментальную систему решений. (Уравнение Бесселя нулевого порядка). Решение уравнения имеет вид:
,
где
-
функции Бесселя первого и второго рода
нулевого порядка.
при r = 0 (на оси струи) скорость или равна 0 или конечной величине.
Так
как при r
= 0
,
то
.
Поэтому решение уравнения (*) имеет вид:
,
где C- постоянная интегрирования - должна быть найдена из дополнительных физических соображений. Для поверхности
-
радиальная скорость частиц жидкости,
находящихся на поверхности струи
Кинетическая энергия частицы жидкости:
на
единицу длины струи
.
6.2.4. Определение скорости нарастания колебаний поверхности струи
Если после наложения возмущения система (струя) предоставлена сама себе и энергия не подводится, то:
С
учетом выражений для
и
получим:
или
Решение
будем искать в виде: 
; 
.
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
.
Таким
образом, если
(т.е.
),
то
и, следовательно, (
)
будет возрастать по экспоненциальному
закону. Это приведет к распаду струи на
отдельные капли.
График
зависимости
для воды имеет вид (рис. 6.2.)
kR
0,7
Рис. 6.2. Зависимость
Из
графика видно, что
= 0,7 и, значит,
.
Таким
образом, наиболее опасное возмущение
(т.е. возмущение, приводящее к наиболее
быстрому нарастанию амплитуды колебаний
и, следовательно, наиболее быстрому
распаду водяной струи) имеет длину волны
(где R - радиус невозмущенной струи).
6.2.5. Влияние вязкости жидкости, сил тяжести, межфазного трения на разрушение струи
Для
реальных струй необходимо учесть
вязкость, действие сил тяжести, межфазное
трение. Задача сильно усложняется. Кроме
того, в реальных струях, как правило,
движение непотенциальное (турбулентное).
Однако использованный подход к решению
задачи об устойчивости реальных струй
может быть применен. Учет реальности
приводит к некоторому изменению величины
,
а принципиальные выводы об устойчивости
сохраняются.
Длина
непрерывной части струи представляет
собой расстояние, проходимое струей за
время нарастания колебаний до такой
степени, что струя распадается (
).
Следовательно, длина непрерывной части
зависит от характера возмущений
.
При устранении возмущений длина
компактной струи может быть значительно
увеличена. В случае реальных струй
увеличение все равно ограничено в связи
с действием гравитационной неустойчивости
и межфазного трения.
Уравнение энергии для несжимаемых жидкостей:
Учет
вязкости можно выполнить следующим
образом:
где
- работа сил трения в объеме W
за время t.
При учете вязкости происходит уменьшение инкремента q колебаний по абсолютной величине и смещение в сторону больших длин волн максимума q. Интервал неустойчивости не меняется (рис. 6.3).
(Можно
отметить, что полученные результаты
справедливы для малых возмущений и,
следовательно, характеризуют их
нарастание в начальный период.)
kR
0,7
Рис. 6.3. Влияние вязкости жидкости на величину
инкремента колебаний
Таким
образом, цилиндрическая поверхность
жидких струй неустойчива по отношению
к возмущениям определенной длины волны
(т.е. происходит распад на капли) и
существуют возмущения, приводящие к
особенно быстрому распаду струй. Для
воды эти возмущения имеют длину волны
.