1.11. Закон архимеда

Для доказательства закона Архимеда используем описанный выше метод нахождения вертикальной составляющей силы давления жидкости на криволинейную стенку.

Пусть в жидкость погружено тело произвольной формы объемом W (рис. 1.17). Спроектируем это тело на свободную поверхность жидкости и проведем проектирующую цилиндрическую поверхность, которая касается поверхности тела по замкнутой кривой. Эта кривая отделяет верхнюю часть поверхности тела АСВ от нижней ее части АДВ. Вертикальная составляющая силы избыточного давления жидкости на верхнюю часть поверхности тела направлена вниз и равна весу жидкости в объеме ААВВСА. Вертикальная составляющая силы давления жидкости на нижнюю часть поверхности тела направлена вверх и равна весу жидкости в объеме АА ВВДА.

Отсюда следует, что вертикальная равнодействующая сил давления жидкости на тело будет направлена вверх и равна весу жидкости в объеме, равном разности указанных двух объемов, т.е. в объеме тела АСBED:

. (1.60)

В этом и заключается закон Архимеда, обычно формулируемый так: на погруженное в жидкость тело действует сила, направленная вертикально вверх (выталкивающая) и равная весу жидкости в объеме тела (погруженной части).

Рис. 1.17. Силы, действующие на погруженное в жидкость тело

Точка приложения этой силы - центр тяжести объема W.

В зависимости от соотношении веса gW_ACBED тела и архимедовой силы Р_А возможны три случая:

1) gW_ACBED > P_A - тело тонет;

2) gW_ACBED < P_A - тело всплывает;

3) gW_ACBED = P_A - тело плавает.

Очевидно, что горизонтальная составляющая сила давления на тело будет равна нулю, так как проекции поверхности как левой, так и правой половины тела на вертикальную плоскость, перпендикулярную плоскости чертежа (см. рис. 1.17), одинаковы, а составляющие сил давления слева и справа равны и противоположно направлены.

Глава 2. Основы гидродинамики

2.1. Основные понятия гидродинамики

Гидродинамика – это раздел гидромеханики, изучающий движение несжимаемых жидкостей. Чтобы облегчить исследование законов движения реальной жидкости в курсе гидравлики введено понятие некоторой абстрактной идеальной (невязкой) жидкости. Идеальная жидкость – жидкость, не обладающая свойством вязкости. При движении такой жидкости из-за отсутствия трения не возникает потери энергии. Очевидно, реальная (вязкая) жидкость отличается своими физическими свойствами от идеальной жидкости. Поэтому ясно, что все выводы, установленные для идеальной жидкости, могут применяться в условиях реальной действительности только в том случае, если влияние сделанных допущений в отношении свойств жидкости несущественно. В основу гидравлики положена «струйная модель» движения жидкости, исходными понятиями которой являются линия тока, элементарная струйка, поток жидкости.

2.1.1. Линия тока. Элементарная струйка

В пространстве, занятом движущейся жидкостью, выделим в некоторый момент времени точку 1 (рис. 2.1), вектор скорости в которой v₁. В тот же момент времени в точке 2, бесконечно близкой к точке 1, вектор скорости v₂ и т.д. При бесконечно большом количестве точек огибающая всех этих векторов даст в пределе некоторую пространственную кривую, называемую линией тока. Таким образом, линия тока представляет собой кривую, в каждой точке которой в данный момент времени вектор скорости частицы жидкости касателен к этой кривой.

Рис. 2.1. Линия тока

Введем понятия установившегося и неустановившегося движения. В общем случае скорость жидкости зависит от координат x, y, z и времени t, т.е.

. (2.1)

Если скорость жидкости в данной точке пространства, занятого движущейся жидкостью, не меняется со временем, то движение называется установившимся. В противном случае движение будет неустановившимся. Для неустановившегося движения справедливо соотношение (2.1), а для установившегося соотношение (2.2):

. (2.2)

Следует различать линию тока и траекторию движения частицы жидкости. Траектория представляет след движения одной частицы жидкости за некоторый отрезок времени. Линия же тока связывает между собой различные частицы и характеризует их движение в один и тот же момент времени. Линия тока и траектория движения частиц жидкости, на ней расположенных, совпадают только при установившемся движении.

На рис. 2.2 показано множество линий тока. Совокупность линий тока, проходящих через все точки элементарной площадки d и перпендикулярно к ней, называется элементарной струйкой жидкости. Площадку d называют живым сечением струйки.

Рис. 2.2. Элементарная струйка

Объем жидкости, протекающей за единицу времени через живое сечение, называется расходом элементарной струйки dQ. Отношение этого расхода к площади живого сечения d называют местной скоростью движения v в данном сечении струйки. Таким образом,

, (2.3)

откуда . (2.4)