4.6. Касательные напряжения и распределение скорости в турбулентном потоке

Как уже отмечалось, для турбулентного режима характерно перемешивание жидкости, пульсация скоростей и давлений в процессе движения. Вследствие чрезвычайной сложности происходящих явлений механизм турбулентного потока изучен далеко не полностью. В основе современных представлений о турбулентности лежит теория переноса количества движения, развитая Прандтлем.

Рассмотрим поток жидкости, в котором элементарные частицы благодаря поперечной пульсационной скорости переносятся из одного слоя в другой. В силу неразрывности потока одновременно с перемещением частицы из первого слоя во второй другая частица перемещается из второго слоя в первый. Так как скорости перемещающихся частиц различны, то в каждом из слоев происходит изменение количества движения, приводящее к возникновению дополнительного напряжения на границе соприкосновения слоев

(4.30)

где - длина пути перемешивания, на котором элементарная частица жидкости, переходя из одного слоя в другой, приобретает скорость последнего; - градиент скорости.

Величина должна быть добавлена к тому чисто вязкостному напряжению, которое действует между отдельными слоями турбулентного потока.

Общее касательное напряжение при турбулентном режиме будет равно

(4.31)

При ламинарном режиме, ввиду отсутствия перемешивания жидкости при , касательное напряжение пропорционально градиенту, а следовательно, и скорости потока, так как при постоянстве эпюры скоростей градиенты скорости прямо пропорциональны средней скорости потока.

При турбулентном движении с резко выраженным перемешиванием масс жидкости второй член в уравнении (4.31) значительно возрастает по сравнению с первым, так что вязкостной частью напряжений можно пренебречь (за исключением зоны в непосредственной близости к стенке).

Следовательно, при развитой турбулентности касательные напряжения пропорциональны квадрату средней скорости. В этих случаях, наиболее часто встречающихся в гидротехнической практике, говорят о квадратичной области сопротивления.

Наконец, уравнение (4.31) показывает, что в тех случаях, когда напряжение от сил вязкости соизмеримо с дополнительными напряжениями, общее касательное напряжение будет пропорционально средней скорости в степени, несколько меньше второй. В таких случаях говорят о переходной области сопротивления.

Полученные из анализа уравнения (4.31) выводы хорошо подтверждаются опытными данными.

Наличие перемешивания в турбулентном потоке и связанного с ним переноса количества движения из одного слоя жидкости в другой должно приводить к определенному выравниванию скоростей в различных точках живого сечения. На рис. 4.5 показана эпюра скоростей в круглой трубе при турбулентном режиме. Из него видно, что как и при ламинарном режиме скорости весьма быстро возрастают в прилегающем к стенке слое незначительной толщины, а затем, благодаря влиянию перемешивания, дальнейшее их возрастание до максимального значения по оси трубы происходит очень медленно.

В отличие от ламинарного потока, характеризующегося отношением , в турбулентном потоке это отношение меняется и составляет, например, для труб 0,75 при ; 0,9 при ; 0,96 при и т.д., приближаясь к единице с увеличением числа Рейнольдса.

Рис. 4.5. Распределение скоростей при турбулентном движении

В пределе при будет совершенно равномерная эпюра скоростей по сечению потока, характерная для невязкой жидкости. Этого и следовало ожидать, так как движение невязкой жидкости можно характеризовать как движение при .

Распределение скоростей в турбулентном потоке, согласно формуле Прандтля, выражается зависимостью

(4.32)

где - универсальная постоянная Прандтля, равная по опытам Никурадзе 0,4; - радиус трубы; - расстояние рассматриваемой точки от стенки трубы; - так называемая динамическая скорость, или скорость касательного напряжения.

Динамическую скорость определяют по формуле , входящей в выражение (4.18).

Современные исследования подтверждают справедливость формулы (4.32), но при условии, что - величина переменная.

Приблизительно распределение скоростей в поперечном сечении трубы при турбулентном режиме описывается уравнением

(4.33)

где - показатель степени, зависящий от шероховатости стенок трубы и числа , по А.Д. Альтшулю, , изменяется в пределах для шероховатых труб до для гладких труб.