ТАУ / Lr2h

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2

ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

Лабораторная работа N2 предусматривает изучение частотных характеристик и переходных процессов для линейных систем автоматического регулирования с целью оценки влияния параметров системы и установления взаимосвязи между видом частотных характеристик и переходными процессами в системе. В ходе выполнения лабораторной работы исследуются логарифмические частотные характеристики (ЛХ) и переходные процессы в системах, состоящих из типовых структурных звеньев. Определяется вид этих характеристик и их взаимная связь.

1. Исследование логарифмических частотных характеристик системы

Описание частотных характеристик системы

Частотные свойства системы наиболее просто и наглядно представлять в виде логарифмических частотных характеристик. Эти характеристики легко построить (построение асимптотических логарифмических характеристик практически не требует вычислений) и они позволяют достаточно полно судить о динамических свойствах исследуемой системы. Используются две логарифмические частотные характеристики: логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ), характеризующая зависимость усиления системы (в децибелах) от частоты L(w), и логарифмическая фазовая характеристика (ЛФХ), характеризирующая зависимость угла фазового сдвига гармонического сигнала в системе от частоты сигнала φ(w).

Для построения логарифмических частотных характеристик система представляется структурной схемой. Структура линейной САР состоит из типовых звеньев (усилительное, инерционное, колебательное, интегрирующее, дифференцирующее), включенных в различных комбинациях и соединенных между собой различными способами (последовательно, параллельно, с использованием обратной связи). Типовое звено описывается передаточной функцией (см. описание предыдущих лабораторных работ).

При выполнении лабораторной работы предполагается, что структура системы содержит только последовательные соединения типовых звеньев. Логарифмические частотные характеристики системы при этом могут быть определены путем суммирования логарифмических частотных характеристик типовых звеньев, входящих в ее структуру.

Логарифмические частотные характеристики имеют следующие характерные точки: w­_c – частота среза системы, при которой L( w) = 0, и w_π  – частота фазового сдвига, при которой φ(w_π)=-180º. Чтобы система была устойчивой в замкнутом состоянии, необходимо иметь для разомкнутой системы w­_c< w_π (Частотный критерий устойчивости Найквиста).

По логарифмическим частотным характеристикам можно определить следующие показатели качества системы: запас устойчивости системы по фазе φ_з = 180 + φ(w_c) и запас устойчивости системы по амплитуде

L_з=L(w_c). Чем меньше эти величины, тем больше система склонна к потере устойчивости. При L_з<-15 дб перегулирование в системе превышает 20%. Запас по фазе для системы удовлетворительного качества должен лежать в пределах 20º–50º.

Выполнение исследований

Для исследования логарифмических частотных характеристик системы необходимо составить ее структурную схему и определить параметры (коэффициенты усиления и постоянные времени) передаточных функций каждого типового звена, входящего в структуру системы.

Программа запрашивает ввод характеристики структуры исследуемой системы. Сначала необходимо заполнить таблицу параметров структурных звеньев системы. Сначала в системе имеется одно усилительное звено с единичным коэффициентом усиления. Для того чтобы добавить в систему звено необходимо нажать кнопку Добавить. Изменить тип звена можно нажатием на соответствующую строку таблицы, после чего выбрать тип звена из появившегося списка типовых звеньев. Чтобы замкнуть систему единичной обратной связью необходимо установить флажок Обратная связь. Для удаления выделенного звена нажмите кнопку Удалить

2. Исследование переходных процессов в системе

Построение переходного процесса

Построение переходного процесса в системе осуществляется путем численного решения дифференциального уравнения системы и построения по точкам графика полученного решения. При этом линейная система автоматического регулирования (САР) описывается обыкновенным линейным дифференциальным уравнением порядка n

(g(0)pⁿ +g(1)p ^n-1+...+g(n))y(t) = (b(0)p ^m +...+b(m))x(t)

или

G(p) y(t) = B(p) x(t),

где g, b – коэффициенты уравнения,

p – оператор дифференцирования,

x, y – входной и выходной сигналы в системе, соответственно.

Для линейной САР m<n (в дальнейшем при записи общего вида уравнения принято m=n-1). Решение уравнения производится методом Рунге-Кутта-Мерсона. В качестве входного сигнала принимается единичная ступенчатая функция x(t) = 1(t). По графику переходного процесса можно оценить устойчивость и качество системы. Используя графики, полученные при разных параметрах системы можно оценить влияние на устойчивость и качество САР параметров ее элементов.

Определение дифференциального уравнения системы

Дифференциальное уравнение исследуемой системы определяется исходя из ее структуры. По передаточным функциям звеньев, образующих структуру исследуемой САР, и с использованием правил определения передаточных функций соединений звеньев, а также правил преобразования структурных схем, находятся передаточные функции разомкнутой или замкнутой системы. Дифференциальное уравнение системы определяется по ее передаточной функции:

 

A(p)

W(p) = –––––––, тогда B(p) y(t) = A(p) x(t),

B(p)

где A(p), B(p) -полиномы, W(p) -передаточная функция.

Значение p зависит от применения: в выражении передаточной функции это аргумент функций-изображений Лапласа, в дифференциальном уравнении – это оператор дифференцирования.

Пример: пусть передаточная функция имеет вид

 

10(0.5p + 1)

W(p) = ––––––––––––––––––– ,

0.01p 52 0 + 0.5p + 1

 

тогда дифференциальное уравнение системы запишется следующим образом

(0.01p² + 0.5p + 1) y(t) = 10(0.5p + 1) x(t).

Определение передаточной функции системы

Передаточная функция системы определяется по ее структурной схеме. Для определения передаточной функции разомкнутой системы используются правила нахождения передаточных функций соединений звеньев:

-при последовательном соединении звеньев передаточные функции звеньев перемножаются,

-при параллельном соединении звеньев их передаточные функции складываются,

-при соединении звеньев с использованием обратной связи передаточная функция соединения находится по следующей формуле

W₁(p)

W(p) = ––––––––––––––– ,

1 ± W₁(p) W₂(p)

где W₁(p) – передаточная функция звена, включенного в прямом направлении преобразования входного сигнала, W₂(p) – передаточная функция звена, включенного в обратную связь. Знак минус относится к случаю положительной обратной связи, а плюс - к случаю отрицательной обратной связи.

Передаточная функция замкнутой системы находится по передаточной функции разомкнутой системы

W(p)

Ф(p) = ––––––––– ,

1 + W(p)

где W(p) -передаточная функция разомкнутой системы.