Синтез с использованием интегральной оценки ивмо

Один из методов синтеза основан на использовании интегральной оценки ИВМО (интеграл от взвешенного модуля ошибки):

(12)

где - переходная составляющая ошибки.

Данный метод позволяет по известной передаточной функции объекта рассчитать параметры ПИД-регулятора , а также передаточную функцию предшествующего фильтра .

Рассмотрим процедуру синтеза, представив структуру системы в следующем виде:

Рис.3. Структурная схема САУ.

Передаточная функция данной системы

. (13)

Первоначально считаем , .

Рассчитаем параметры регулятора, задавшись его структурой. (Для ПИД-регулятора передаточная функция будет иметь вид: ).

П роцедура синтеза включает следующие этапы:

1. Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы с ПИД-регулятором:

(14)

2. Используя таблицу оптимальных значений коэффициентов характеристического полинома замкнутой системы (табл.3), определить и коэффициенты ПИД-регулятора. Значение при этом может быть выбрано, или оно получается по расчетам, при приравнивании характеристического полинома системы с регулятором и табличного полинома.

3. Определить передаточную функцию предшествующего фильтра, так, чтобы передаточная функция замкнутой системы не имела нулей и приняла табличный вид

. (15)

Для этого приравниваем передаточную функцию системы с регулятором и фильтром (13) и табличную передаточную функцию (15). Получаем ПФ предшествующего фильтра:

, (16)

где

- нули передаточной функции .

Таблица 3. Коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы, оптимальные по критерию ИВМО.

Пример.

Дан объект, вида:

Рис.4. Структурная схема объекта.

Передаточная функция разомкнутой части системы .

Заданы требуемые (желаемые) показатели качества:

Желаемые показатели качества: 0,5, , .

После моделирования переходного процесса для данного объекта (например, в пакете Matlab), получили следующие показатели качества:

= 3,2, , .

Добавим в состав системы ПИД-регулятор: =

Рис.5. Структурная схема системы с регулятором.

Тогда передаточная функция системы:

и, следовательно, характеристический полином:

По таблице оптимальных значений коэффициентов, для системы 3-го порядка получаем полином:

Тогда, приравнивая два полинома ( ), получаем систему уравнений для нахождения значений параметров регулятора:

Данная система уравнений имеет бесконечное множество решений, значит, у нас есть возможность для выбора величины . Мы выбираем ее, исходя из желаемых показателей качества. Для третьей строки таблицы

Тогда параметры регулятора:

После моделирования переходного процесса для системы с ПИД-регулятором (например, в пакете Matlab), получили следующие показатели качества:

= 0,2, , .

Большая величина перерегулирования получается в результате наличия нулей передаточной функции (выражение в числителе может быть обращено в ноль). В таблице оптимальных значений приведены коэффициенты для систем с ПФ, вида:

Для приведения ПФ системы к требуемому виду, в состав системы добавим предшествующий фильтр. Теперь передаточная функция системы имеет вид:

и, следовательно, ПФ предшествующего фильтра может быть найдена из равенства:

Т.е.

Для нашего примера:

После моделирования переходного процесса для системы с ПИД-регулятором и предшествующим фильтром, получили следующие показатели качества:

= 0,45, , .

Они полностью соответствуют заданным (желаемым).