Министерство образования Украины

Севастопольский национальный технический университет

Методические указания

к лабораторной работе N 3 по дисциплине

“Специальные разделы физики”

для студентов специальностей 7.090801 и 7.090804

Севастополь

Лабораторная работа №1-2 Определение концентрации и холловской подвижности основных носителей заряда.

Цель работы: определение концентрации и холловской подвижности основных носителей заряда в полупроводниках на основании измерений эффекта Холла.

1. Теоретическое обоснование метода определения концентрации и холловской подвижности основных носителей заряда.

1.1 Движение носителей заряда в электрическом и магнитном полях.

На заряженную частицу, движущуюся со скоростью V, в электрическом и магнитном полях действует сила Лоренца F:

F = q  q V × B  = m^a (1)

где m^ — эффективная масса частицы; a — ускорение частицы;  — напряжённость электрического поля; B — индукция магнитного поля; q — заряд частицы.

Частица в вакууме:

1. При отсутствии электрического поля и наличии магнитного поля:

а) магнитное поле не влияет на движение заряженной частицы, если

V ║B.

б) частица движется по окружности, если V  B.

в) частица движется по винтовой траектории, если направление вектора V произвольно по отношению к вектору B.

2. При наличии взаимно перпендикулярных электрического и магнитного полей.

а) частица движется по циклоиде, если V = 0 .

б) частица движется по удлиненной циклоиде, если V не равно 0 .

Частица в твердом теле:

3. При наличии взаимно перпендикулярных электрического и магнитного полей в неограниченном образце заряженная частица движется по участкам циклоиды c периодом, равным времени релаксации.

В ограниченном образце в направлении, перпендикулярном взаимно перпендикулярным V и B, появляется составляющая электрического поля Е_H , которая выпрямляет траектории носителей заряда, имеющих среднюю скорость. Из-за разницы силы Лоренца и холловского поля быстрые и медленные носители заряда отклоняются в разные стороны (на медленные сильнее действует холловское поле, а на быстрые сила Лоренца).

1.2 Критерий величины магнитного поля.

Величину магнитного поля оценивают по соотношению времени релаксации  и периода обращения T_c по круговой орбите в магнитном поле.

Под слабым магнитным полем понимают такое поле, для которого

  T_c (2)

Но частота обращения носителя заряда с эффективной массой m^ по круговой орбите в магнитном поле с индукцией В, т.е. частота _c циклотронного резонанса равна:

_c  (2)  em^ (3)

поэтому в слабых полях

_с2  2  1 , (4)

а в сильных полях

_с2  2  1 (5)

1.3 Эффект Холла и основные теоретические соотношения.

Рассмотрение эффекта Холла проведем для слабого магнитного поля. Рассмотрим качественно действие магнитного поля В на полупроводник, по которому протекает электрический ток. Пусть магнитное поле перпендикулярно направлению движения зарядов, а образец имеет вид параллелепипеда с поперечным сечением сb (рисунок1). Электрическое поле Е_x направлено вдоль оси x, магнитное B_y— вдоль оси y. На носитель заряда, движущийся с дрейфовой скоростью V, будет действовать сила Лоренца (1). Скорость V вычисляется по формуле

V =    em^ (6)

поэтому F = e²m^ (7)

Из уравнения (7) следует, что направление силы Лоренца не зависит от знака носителя заряда, а определяется направлением векторов  и B. Значит, если скорость носителей заряда определяется электрическим полем, то электроны и дырки под действием силы Лоренца отклоняются в одну и ту же сторону. Под действием этой силы дырки в акцепторном полупроводнике и электроны в донорном полупроводнике будут отнесены к верхней поверхности образца, вследствие чего на нижней поверхности возникнет их дефицит, что обусловит противоположный по знаку заряд по отношению к заряду на верхней поверхности, как показано на рисунках 1 и 2. EH - холловское поле, которое препятствует дальнейшему разделению зарядов. Процесс разделение прекратится когда

F_EH + F_Л = 0

Явление возникновения поперечной напряжённости электрического поля в полупроводнике вследствие отклонения электронов или дырок проводимости, создающих электрический ток плотностью j в поперечном магнитном поле с индукцией B, называется эффектом Холла. Поле Е_H носит название поля Холла, а соответствующая э. д. с. ЭДС Холла. Направление вектора напряжённости поля Холла зависит от знака носителей заряда. В стационарном состоянии сила электрического поля Холла qЕ_H уравновесит магнитную силу Лоренца F_b:

qЕ_H = qЕ_x + q[V  B] (8)

Для электронного полупроводника:

E_Hn = R_njB (9)

Для дырочного полупроводника:

E_Hр = - R_pjB (10),

где R_p,n — коэффициенты Холла.

Из этой формулы путем преобразований находим ЭДС Холла U_H:

U_H = RIB/b (11)

Здесь b — толщина образца в направлении магнитного поля B_x.

В полученных выражениях не было учтено статистическое распределение носителей заряда по скоростям. Строгое математическое описание эффекта Холла в слабых магнитных полях для полупроводника со смешанной проводимостью основано на решении кинетического уравнения Больцмана и приводит к следующему выражению для напряжённости Холловского поля Е_H:

E_H = A(p_p_p  n_n_n)jB/q(p_p  n_n)(p_p  n_n) (12),

где А — постоянная, зависящая от механизма рассеяния носителей заряда в полупроводнике.

R = A(p_p_p - n_n_n)/q(p_p + n_n)(p_p + n_n) (13)

В случае носителей заряда одного знака выражение (13) упрощается:

Для электронного полупроводника: R_n = - A/qn

(14)

Для дырочного полупроводника: R_p = A/qp

Для собственного полупроводника (n=p=n_i): R=A(_p - _n) / (_p + _n) (15)

По знаку коэффициента Холла R можно судить о знаке носителей заряда в данном материале. В случае смешанной проводимости знак коэффициента Холла определяется соотношением концентрации и подвижностей дырок и электронов (14) . В собственном полупроводнике (n=р) коэффициент Холла чаще всего отрицателен из-за большей подвижности электронов, чем дырок.

Из (14) видно, что зная коэффициент Холла можно с точностью до коэффициента А определить концентрацию носителей заряда в примесном полупроводнике. Коэффициент А в зависимости от механизма рассеяния может принимать различные значения. Для рассеяния на акустических колебаниях решётки он равен 3π/8, для рассеяния на ионах примеси — 315π/512, для рассеяния на нейтральной примеси равен единице. Практически всегда имеет место комбинация нескольких механизмов рассеяния одновременно, и поэтому бывает сложно определить коэффициент А. Зная для одного и того же образца коэффициент Холла и электропроводность σ = enμ, можно вычислить холловскую подвижность носителей тока:

μ_H = Rσ (16)